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#1 30/04/2021 20h51

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Bonjour,
Je regardais une des dernières vidéos de Xavier Delmas "Pourquoi les riches deviennent plus riches? L’effet Matthew". Dans cette vidéo, Xavier Delmas illustre le "winner takes all" par le modèle d’urne de Pólya.

Le modèle de l’urne de Pólya le plus simple est le suivant: on met deux boules, une blanche et une rouge, dans une urne. On tire une boule au hasard dans l’urne; si c’est une blanche on remet dans l’urne deux blanches; si c’est une rouge on remet dans l’urne  deux rouges et on réitère le processus n fois. On note X_n la proportion de boules blanches dans l’urne. Une question qui se pose est l’évolution de la proportion X_n quand le nombre n de tirages devient grand.
En termes mathématiques, la variable X_n va converger presque sûrement vers une variable uniforme sur [0,1] quand n tend vers l’infini. (démonstration délicate qui utilise en général la notion de martingales).

En termes non mathématiques (que les matheux du forum me corrigent si je dis une bêtise), sur une simulation, la proportion X_n va se stabiliser vers une proportion x comprise entre 0 et 1, et, si on fait un grand nombre de simulations, toutes les limites  possibles x sont équiprobables. Il n’y a pas disparition de l’une des deux couleurs mais coexistence et sans que l’on puisse deviner a priori la proportion limite.

Bref, ou je fais erreur, ou je ne vois  pas de "winner takes all" dans ce modèle d’urne de Pólya.
A titre de comparaison, le jeu de Monopoly me paraît plus adapté pour le "winner takes all": il y a toujours un unique gagnant à la fin du jeu (ce qui n’est pas facile à démontrer) et il n’est pas possible d’avoir, par exemple, une partie qui dure indéfiniment avec deux joueurs.

Je me demande quelles sont les situations économiques concrètes qui débouchent obligatoirement sur du "winner takes all" et celles qui autorisent la coexistence de plusieurs joueurs.

Cdt

Mots-clés : monopoly, polya, winner

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#2 30/04/2021 21h28

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Bonjour, l’exemple le plus évident du "winner takes all" à mon sens concerne les secteurs où l’effet de réseau joue à fond, c’est à dire où la valeur de votre produit augmente avec le nombre d’utilisateurs (en effet la valeur d’un réseau augmente exponentiellement avec le nombre d’éléments qui le composent). Cela créé un effet boule de neige qui rend le gagnant indélogeable sans intervention du législateur ou rupture techno.

Quelques exemples:
- Facebook: tout le monde y va car les copains sont déjà dessus (qui a envie d’être sur un réseau social sans utilisateur?)
- Google: plus il y a d’utilisateurs plus on est tenté de faire de la pub sur cette plateforme, et plus la plateforme vend de pub, plus elle dispose de moyens pour séduire de nouveaux utilisateurs en étendant les services, et les garde dans son "écosystème".
- Toute les "places de marché" du net: partout où il y a rencontre entre une offre et une demande, de nombreux clients potentiels incitent à proposer ses produits/services sur la plateforme, et de nombreux produits attirent de nouveaux clients etc : Le Bon Coin, EBay, Amazon, Linked In etc. Sans parler des économies d’échelle.
- La logistique: plus vous avez d’entrepôts / hubs et plus vous êtes efficace car les distances se raccourcissent entre vos "noeuds". Un réseau dense peut être aussi un avantage lorsque vous intervenez en temps limité chez plein de clients différents (Solutions 30), ou que vous devez offrir un service de proximité à des clients disséminés géographiquement (Eurofins).
- il y a aussi des situations où vos produits deviennent des standards de fait que tout le monde connaît / utilise (Microsoft), et où vous définissez vous même les standards (ce qui simplifie les choses pour mettre des bâtons dans les roues des concurrents ou des barrières à l’entrée).

Une fois qu’un "winner" est en place, les coûts d’acquisition de clients pour une plateforme concurrente et pour construire un réseau équivalent deviennent prohibitif, pour un résultat incertain. C’est d’ailleurs pour ça que les grosses plateformes américaines peuvent se permettre de perdre de l’argent pendant des années, et restent financées, tant qu’elles gagnent des utilisateurs (Uber, Netflix, Spotify…). On espère que ça débouchera sur un "pseudo monopole" :-)

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#3 30/04/2021 21h40

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Alpins a écrit :

En termes non mathématiques (que les matheux du forum me corrigent si je dis une bêtise), sur une simulation, la proportion X_n va se stabiliser vers une proportion x comprise entre 0 et 1, et, si on fait un grand nombre de simulations, toutes les limites  possibles x sont équiprobables.

Equiproblables, avant le début du tirage.
Mais dès que quelques tirages sont faits, la tendance est lancée, et elle n’a qu’extrêmement peu de chances de s’inverser.

Dès le premier tirage, il y aura dans l’urne un rapport 2/1
Le second tirage a 66% de chances d’être une boule majoritaire => 3/1
Dans ce cas, le troisième tirage donnera à 75% de chances une majoritaire…

Tandis que si le second tirage est minoritaire, on revient à l’équilibre, mais avec plus de boule, donc c’est plus stable => plus grande chance d’être dans un scénario central.

Si l’une des couleurs est gagnante sur les 2/3 premiers tirages, elle a toutes els chances d’écraser l’autre.


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#4 05/05/2021 18h18

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Faith, vous mélangez "probabilité et probabilité conditionnelle", il s’agit simplement de comprendre que dans l’un ou l’autre cas l’univers des événements élémentaires change.

Si j’appelle   Bn+1 l’événement = « tirer une boule blanche au (n +1)ième tirage »

Sa probabilité vaut toujours  1/2 ( je détaillerai mathématiquement si vous voulez, il s’agit d’appliquer une formule des probabilités totales).

Selon moi, pour illustrer la problématique (intuitive mais foireuse) du ’winner take it all’  par  les urnes de Polya, il s’agit de partir au départ d’une situation déséquilibrée: à savoir une urne qui contient par exemple a boules blanches et b boules rouges avec a>b. Là, les calculs deviennent plus intéressants et il est moins facile de prédire ce qui va arriver à la limite ( quoique…)

Dernière modification par DoctusMonkey (05/05/2021 18h20)

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#5 05/05/2021 18h27

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DoctusMonkey a écrit :

Sa probabilité vaut toujours  1/2 ( je détaillerai mathématiquement si vous voulez, il s’agit d’appliquer une formule des probabilités totales).

J’aimerais bien, oui, que vous m’expliquiez que dans une urne contenant 2 boules noires et 1 boule blanche, la probabilité de tirer une noire soit de 50% !


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#6 05/05/2021 18h38

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On ne parle pas du même événement.
Je vous parle de la probabilité de tirer une boule blanche au 2 ième tirage ( elle vaut 1/2)
Vous me parlez de la probabilité de tirer une boule blanche au 2 ième tirage sachant qu’on a tiré une boule noire au premier ( elle vaut 1/3)

Encore une fois, il s’agit juste d’accepter de théoriser un minimum au départ ie de définir proprement un univers: dans votre calcul et dans le mien, il ne s’agit tout simplement pas du même univers.

tout l’intérêt d’élaborer une vraie théorie des probabilités c’est de balayer ce genre de flou artistique

Faith a écrit :

Equiproblables, avant le début du tirage.
Mais dès que quelques tirages sont faits, la tendance est lancée, et elle n’a qu’extrêmement peu de chances de s’inverser.

c’est à partir de phrases de ce genre qu’on dérape dans le flou artistique

Dernière modification par DoctusMonkey (05/05/2021 18h42)

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#7 05/05/2021 18h55

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DoctusMonkey a écrit :

On ne parle pas du même événement.
Je vous parle de la probabilité de tirer une boule blanche au 2 ième tirage ( elle vaut 1/2)

C’est l’évidence même, puisque le la situation est symétrique entre noir et rouge.

Vous me parlez de la probabilité de tirer une boule blanche au 2 ième tirage sachant qu’on a tiré une boule noire au premier ( elle vaut 1/3)

Et c’est ce qui explique "winner takes it all".

c’est à partir de phrases de ce genre qu’on dérape dans le flou artistique

Pardon, mais en rappelant des évidences, vous n’avez pas vraiment changé quoique ce soit au flou.
Je préfère un raisonnement rapide et efficace, qu’une théorie imbitable qui prend 3 heures à lire.

Explication claire du "winner takes it all":
Après le round 1, il y aura 2 boules dominantes (D) pour 1 boule minoritaire (m)
R1 => 2D-1m
R2 =>
66% 3D-1m
33% 2D-2m
R3 =>
50% 4D-1m
33% 3D-2m
17% 2D-3m

Rien qu’après le premier tirage, on a une probabilité de 1/2 d’avoir D en écrasante majorité en fin de round 3, et 33% de chances supplémentaires qu’elle soit en majorité.
Seulement 17% que la boule m soit majoritaire.
Bref, le résultat du 1er round influence massivement la suite des tirages. "Winner takes it all".


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#8 05/05/2021 19h52

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Si, dans votre idée, cela se résume à ce que vous dites, alors l’analogie mathématique est assez pauvre et n’apporte strictement rien.

Aucun lien, en tout cas, avec les urnes de Polya qui recèlent elles, de vrais enjeux non triviaux.

Pour les théories imbitables, c’est celles que je préfère. Le côté ’je vais résoudre un vrai problème juste avec mon petit bon sens bien de chez moi’, ça va pas chercher bien loin.

Moi, j’essayais juste de vous montrer qu’avec un point de vue plus général, on peut se trouver mieux armé pour des problèmes plus difficiles.

Bonne soirée Faith.

Dernière modification par DoctusMonkey (05/05/2021 19h53)

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#9 05/05/2021 20h18

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DoctusMonkey a écrit :

Si, dans votre idée, cela se résume à ce que vous dites, alors l’analogie mathématique est assez pauvre et n’apporte strictement rien.

Au moins sommes nous d’accord sur ce point.
Il s’agit essentiellement pour l’auteur de la vidéo de récupérer une caution scientifique pour étayer que "plus on a, plus on gagne"

Aucun lien, en tout cas, avec les urnes de Polya qui recèlent elles, de vrais enjeux non triviaux.

Là encore d’accord.
Le problème des urnes est intéressant, et même amusant, mais d’ici à l’appliquer concrètement dans la vie ou en investissement, il y a une grosse marge.

Le côté ’je vais résoudre un vrai problème juste avec mon petit bon sens bien de chez moi’, ça va pas chercher bien loin

Et pourtant, c’est ce genre de raisonnement qui permet de gagner un temps fou quotidiennement: savoir quand passer du temps sur un point et quand éviter.

Mon "petit bon sens bien de chez moi" m’indique tout de suite qu’il est totalement inutile de vouloir chercher des enseignements dans la complexité de la théorie des urnes pour expliquer un phénomène aussi trivial que "winner takes it all" (phénomène étant d’ailleurs largement discutable).


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#10 05/05/2021 20h52

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Faith a écrit :

Mon "petit bon sens bien de chez moi" m’indique tout de suite qu’il est totalement inutile de vouloir chercher des enseignements dans la complexité de la théorie des urnes pour expliquer un phénomène aussi trivial que "winner takes it all" (phénomène étant d’ailleurs largement discutable).

Je suis complètement d’accord avec vous. Encore un exemple d’habillage scientifique purement décoratif - pour ne pas dire pire.

Je dirai même que c’est encore plus vicieux puisque le fait même d’instituer une règle du jeu où on double la mise de celui qui gagne revient à entériner d’emblée le principe du ’winner take it all’. Un peu comme si je disais ’ pour prouver ’ TWTIA’, je vais instituer une expérience dont le point de départ est TWTIA. Purement stérile.

Si j’ai le temps un de ces 4, je posterai un vrai problème type ’urnes de Polya’;

Bonne soirée Faith

Cet échange n’a pas été inutile car il m’a permis de découvrir votre profil: respect pour votre parcours et vos choix de vie.

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#11 05/05/2021 21h47

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Faith a écrit :

Si l’une des couleurs est gagnante sur les 2/3 premiers tirages, elle a toutes les chances d’écraser l’autre.

Dire que l’une des couleurs écrase l’autre se traduit par "la proportion X_n va converger soit vers 0, soit vers 1". Dit autrement, la variable X_n va converger vers une variable de Bernoulli. Ce qui n’est pas le cas (convergence vers une variable uniforme dans le cas le plus simple, convergence vers une loi beta sinon).

Ce qui me semble en jeu derrière ces modèles, c’est d’arriver à illustrer pourquoi certaines situations débouchent sur un "winner takes all" avec disparition quasi totale des concurrents, soit sur une coexistence entre concurrents. La question est tout sauf triviale. Je vais donner un exemple dont je ne connais évidemment pas la réponse. Supposons que le phénomène des cryptomonnaies soit pérenne. Allons-nous aller vers un "winner takes all", c’est-à-dire une cryptomonnaie dominante qui fait  quasiment disparaître les autres ou aurons nous plusieurs cryptomonnaies, avec des parts de marché différentes, mais non négligeables?

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