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#301 10/01/2020 23h46 → Enigmes mathématiques : trouverez-vous les réponses ? (logique, mathématiques, énigmes)

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Bonsoir !

@Mi345, désolé de n’avoir vu votre énigme qu’aujourd’hui. Je me suis pris au jeu.
Sans avoir les connaissances mathématiques nécessaires, j’ai trouvé une méthode, qui m’a donné une seule solution :  ( 204 , 208 ) 

Pour la petite histoire, j’avais d’abord mal lu l’énoncé. J’avais (mal) compris ceci :
"Si cette rue comprend M maisons, M étant entre 50 et 500, quels sont les couples de numéros de maisons (m,n) tels que la somme des numéros avant m soit égale à la somme des numéros après n et jusqu’à M ?"

Le résultat est plus compliqué. J’ai trouvé 1373 solutions (m,n) ; plutôt que de les citer toutes, en voici quelques-unes :

Nb maisons
        couples de n°
                        somme pour vérification
50
    aucun

51
        31 41           465
        42 30           861



97
    aucun

98
        60 78           1770
        79 59           3081



494
    aucun

495
    aucun

496
        32 495           496
        55 493          1485
        109 484         5886
        140 476         9730
        153 472        11628
        162 469        13041
        191 458        18145
        253 427        31878
        287 405        41041
        298 397        44253
        323 377        52003
        378 322        71253
        398 297        79003
        406 286        82215
        428 252        91378
        459 190       105111
        470 161       110215
        473 152       111628
        477 139       113526
        485 108       117370
        494  54        121771


M07

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[+1]    #302 11/01/2020 01h59 → Enigmes mathématiques : trouverez-vous les réponses ? (logique, mathématiques, énigmes)

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Mi345 a écrit :

Dans le même registre et pour un vrai QI > 150 vous avez les maisons de ramanujan.

Soit une rue avec des maisons numérotés 1, 2, 3, …. m-1, m,m+1….n.
Si cette rue comprend entre 50 et 500 maisons, quels sont les couples (m,n) tel que la somme des numéros avant m soit égale à la somme des numéros après m ?

Avec mes vieux souvenirs de maths (et une méthode "bulldozer") :

    On sait que 1+2+3+…+i = S(i) = i*(i+1)/2
    Le problème a pour solution (m,n) tels que S(m-1) = S(n) - S(m)      (et m,n entre 50 et 500)
           soit (m-1)*m/2 = n*(n+1)/2 - m*(m+1)/2
           qui devient   2m² -n² -n = 0
    Ensuite, je ne sais plus trop comment faire, sauf en remplissant (ça prend 2 minutes) une feuille excell (avec n et m les n° de ligne et colonne, avec 2m² -n² -n dans chaque case, et un format conditionnel qui affiche la case en flashy si elle vaut 0) qui trouve que la seule solution est (204, 288).

Il y a surement une astuce pour trouver ça plus élégamment.  (et la video semble en décrire une)


J'écris comme "membre" du forum, sauf mention contraire. (parrain Fortuneo: 12356125)

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[+1]    #303 11/01/2020 10h45 → Enigmes mathématiques : trouverez-vous les réponses ? (logique, mathématiques, énigmes)

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Bonjour,

L’équation 2m^2=n(n+1) montre que 2m^2 est le produit de deux nombres consécutifs.

Le problème est un cas particulier du produit de 2 nombres consécutifs qui est un multiple d’une puissance.

n et n+1 étant premiers entre eux, le nombre pair doit être le produit d’une puissance impaire de 2 et de puissances paires d’autres nombres premiers, et le nombre impair le produit de puissances paires de nombres premiers distincts de ceux du nombre pair, ce qui limite les possibilités.

Le nombre impair est donc le carré d’un nombre impair. Il n’y a que 7 candidats possibles entre 50 et 500 :
81, 121, 169, 225, 289, 361, 441 et donc 14 possibilités de couples n/n+1 à envisager (80/81, 81/82, 120/121, 121/122 etc…). Il s’avère que seul le couple 288/289 fonctionne, avec m=204.

Ci joint mon Excel "pelle à sable" (lol !) qui m’a permis de détecter que 1189/1681 est aussi une solution de l’équation !   

Une petite recherche sur internet m’a permis de localiser cet article qui donne les premiers couples de solutions :

https://www.devenir-rentier.fr/uploads/16426_ih_math.jpg

Vive internet qui me permet de palier mes lacunes de QI….

Canyonneur

Dernière modification par Canyonneur75 (12/01/2020 08h28)

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#304 03/04/2020 14h52 → Enigmes mathématiques : trouverez-vous les réponses ? (logique, mathématiques, énigmes)

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Bonjour !

Un petit piège, pour vous occuper durant votre confinement…

               https://www.devenir-rentier.fr/uploads/9187_10euros-en-trop.jpg

[Edit] Bon, vous avez tous trouvé, et bien raison. Pour la petite histoire,  j’avais soumis ce petit piège à plusieurs personnes. Les résultats sont édifiants :  pour la moitié, les gens répondent qu’ils "ne savent pas" et ne cherchent rien, ne sachant pas du tout quoi et où chercher.  D’autres passent leur temps à vérifier, revérifier et re-revérifier les soustractions et les additions. Seules quelques rares individu(e)s trouvent l’incohérence.
Conclusion : les forums "Devenir-rentier" sont fréquentés par des personnes de niveau nettement supérieur au Vulgum pecus.

Dernière modification par M07 (03/04/2020 18h43)


M07

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[+1]    #305 03/04/2020 14h59 → Enigmes mathématiques : trouverez-vous les réponses ? (logique, mathématiques, énigmes)

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Il n’y a aucune raison pour que la somme des restants soit égale à la somme des dépenses…

Si l’on part de dix euros en dépensant un euro à chaque fois, on aurait :

Je dépense 1 euros, il reste 9 euros
Je dépense 1 euros, il reste 8 euros
Je dépense 1 euros, il reste 7 euros
Je dépense 1 euros, il reste 6 euros
Je dépense 1 euros, il reste 5 euros
Je dépense 1 euros, il reste 4 euros
Je dépense 1 euros, il reste 3 euros
Je dépense 1 euros, il reste 2 euros
Je dépense 1 euros, il reste 1 euros
Je dépense 1 euros, il reste 0 euros

Le total des dépenses est bien de dix euros, celui des restants de 47. Où sont les trente-sept euros ?!

En partant de trois euros, et en dépensant un euro à chaque fois, on arrive bien sur une égalité, mais c’est une exception confirmant la règle. Il doit être possible d’identifier l’ensemble des scénarios exceptionnels, mais j’en suis incapable pour ma part !

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[+1]    #306 03/04/2020 15h03 → Enigmes mathématiques : trouverez-vous les réponses ? (logique, mathématiques, énigmes)

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J’ai mieux :


J’ai 500€

Je dépense 10    il reste 490
Je dépense 10    Il reste 480
Je dépense 10    il reste 470
Je dépense 10    il reste 460
Je dépense 10    il reste 450
Je dépense 10    il reste 440

Je dépense 10    il reste 20
Je dépense 10    il reste 10
Je dépense 10    il reste 0

J’ai dépensé 500 mais il reste 12250€ !
=> Il faut être ambitieux dans la vie !


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[+1]    #307 03/04/2020 15h10 → Enigmes mathématiques : trouverez-vous les réponses ? (logique, mathématiques, énigmes)

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En fait additionner le reste successivement reviendrait à additionner une somme que l’on possède déjà plusieurs fois. Si on retirait 10€ à chaque fois, voire 1€, on verrait immédiatement la faille dans le raisonnement !

Pour être plus rigoureux, on pourrait formaliser ça par une équation X = f(x) + g(x)
où f(x) serait la fonction des dépenses cumulées et g(x) la fonction du reliquat.

(après prévisualisation, je vois que des forumeurs m’ont devancé, je poste quand même mon message pour la deuxième partie)

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#308 05/04/2020 13h22 → Enigmes mathématiques : trouverez-vous les réponses ? (logique, mathématiques, énigmes)

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Vouliez-vous du plus difficile ?  En voilà :

Scientific American de mai 1999 a écrit :

5 pirates et 1000 pièces d’or

5 pirates appelés 1, 2, 3, 4 et 5 ont un trésor de 1000 pièces d’or à partager.

Le principe du partage est le suivant:
Un des pirates fait une proposition de partage.
Il y a vote de tous les pirates.
- S’il y a une majorité (stricte ; c’est à dire plus que la moitié) de réponses favorables la proposition est acceptée.
- Sinon le pirate est tué et passé par dessus bord, et on recommence avec le reste des pirates.

Les pirates sont d’abord cupides et ensuite sanguinaires (*).
Et bien sûr les 5 pirates sont très intelligents et raisonnent de façon extrêmement logique.

5 propose en premier, puis le cas échéant 4 puis 3 puis 2 puis 1.

- Le problème a t-il une solution, si oui laquelle ?
- Quelle est la proposition de 5 ?
- 5 peut-il faire une proposition qui lui garantisse la vie ?
- Si oui,  laquelle ? Et Pourquoi ?
- Si non, que propose 4 ?
- Etc…

(*) Précision :
   Les pirates ont les priorités suivantes (de la plus importante à la moins importante):
     1) Rester en vie
     2) Gagner le maximum de brouzoufs
     3) Tuer le maximum de pirates

Dernière modification par M07 (05/04/2020 13h24)


M07

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[+1]    #309 05/04/2020 14h33 → Enigmes mathématiques : trouverez-vous les réponses ? (logique, mathématiques, énigmes)

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M07, on parle bien de majorité absolue pour la décision ?
Si égalité => proposition refusée ?
C’est sur ce principe que je me suis basé.

En raisonnant à l’inverse, en solution finale, 1 finit seul avec 1000.
Mais 2 n’a pas envie de mourir et donc doit soutenir 3 dans sa proposition pour vivre.
Mais 3 le sait et donc risque de prendre tout le gâteau en pariant sur la volonté de vivre de 2.
4 arrive à la même conclusion, il doit donc glaner le vote de 1 et 2 en leur proposant des brouzoufs.
Mais il sait, ainsi que 1 et 2 que si c’est à lui de faire la proposition, pas besoin de mettre la barre très haut vu que c’est ça ou rien.
Et 5 arrive à la même conclusion : il doit acheter 1 et 2 avec une proposition honnête qu’ils sont sûr de ne pas retrouver.

Donc j’aurais envie de dire proposition de 5 et accepté par 1,2 et 5 d’un partage équitable entre 1, 2 et 5.

Dernière modification par gunday (05/04/2020 14h35)

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#310 05/04/2020 14h51 → Enigmes mathématiques : trouverez-vous les réponses ? (logique, mathématiques, énigmes)

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Bonjour, je n’ai pas la réponse, mais juste un élément:

Si, à un moment, il ne reste plus que 2 pirates ( 1 et 2 ), alors le 2 propose : tout pour moi (les 1000).

Quelles que soient les protestations de 1, la partie s’arrête là.

Donc, quand il y a 3 pirates, le 1 cherchera à éviter la situation où il n’y a plus que 2 pirates ( on comprend pourquoi, pour peu qu’il reste en vie ) … heu, je cale, mais je continue.

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#311 05/04/2020 14h53 → Enigmes mathématiques : trouverez-vous les réponses ? (logique, mathématiques, énigmes)

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Bonjour
5 propose à 4 et 3 1 et garde les 998….
4 et 3 doivent accepter car sinon ils seront à 0 ou alors ils n’auront pas la vie sauve…. contre toute attente 5 à la carte maîtresse !
Canyonneur

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#312 05/04/2020 15h02 → Enigmes mathématiques : trouverez-vous les réponses ? (logique, mathématiques, énigmes)

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Donc, quand il y a trois pirates, l’intérêt du n°3 est de s’assurer du soutien d’au moins un des deux autres.

En proposant, par exemple, 1 pour n°1, et 999 pour lui (n°3) il s’assure du soutien de n°1 ( 1 c’est mieux que zéro, si on arrive à la situation où n’est plus que 2 ).

Je ne suis pas sûr de moi, mais il me semble que ça fonctionne par récurrence, et donc que la meilleure proposition que puisse faire n°5, c’est de dire : Je propose 996 pour moi, et 1 pour chacun d’entre vous.

Canyonneur75 a écrit :

Bonjour
5 propose à 4 et 3 1 et garde les 998….
4 et 3 doivent accepter car sinon ils seront à 0 ou alors ils n’auront pas la vie sauve…. contre toute attente 5 à la carte maîtresse !
Canyonneur

Dans ce cas, 3 dit non ( car il espère la situation à 4 ). Il n’aura toujours que 1, mais aura la grande satisfaction de jeter 5 par dessus bord.

EDIT n°2 : Je cale, en fait l’intérêt du n°3 est de jeter 4 et 5 par dessus bord, pour arriver à la situation idéale décrite plus haut, donc, quelle que soit les propositions de 5 ( et 4 si 5 est jeté par dessus bord ) il a intérêt à dire non.

Dernière modification par Asinus (05/04/2020 15h19)

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[+1]    #313 05/04/2020 15h14 → Enigmes mathématiques : trouverez-vous les réponses ? (logique, mathématiques, énigmes)

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Asinus a écrit :

Si, à un moment, il ne reste plus que 2 pirates ( 1 et 2 ), alors le 2 propose : tout pour moi (les 1000).

Quelles que soient les protestations de 1, la partie s’arrête là.

Il est évoqué plus que la majorité.
Donc une proposition à 2 sonne ne peux pas obtenir plus que la majorité.
Donc 2 est refusé et jeté par dessus bord.

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[+1]    #314 05/04/2020 15h25 → Enigmes mathématiques : trouverez-vous les réponses ? (logique, mathématiques, énigmes)

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Re !

@Gunday a(vait) bien trouvé.

En effet, s’il reste 2 pirates, 1 refusera, quelque soit la proposition. Donc avec 2 pirates 2 sera toujours perdant, jeté par dessus bord et mourra.

S’il reste 3 pirates, 2 acceptera quelque soit la proposition, pour rester en vie. 3, cupide, proposera donc 0,0,1000 (pour lui).

Il suffit donc à 4 de proposer un peu mieux que 3, par exemple 1,0,0,999

Et il suffit à 5 de proposer un peu mieux que 4, car cela maximisera le gain global pour les autres pirates. Par exemple : 1,1,1,0,997.

Dernière modification par M07 (05/04/2020 15h27)


M07

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#315 05/04/2020 15h26 → Enigmes mathématiques : trouverez-vous les réponses ? (logique, mathématiques, énigmes)

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Si, à 2 il faut 2 voix pour, pas d’autre choix.

Wiki a écrit :

On parle de majorité absolue par opposition à la majorité relative. La majorité absolue est égale à la moitié des suffrages exprimés plus un si leur nombre est pair ou, si leur nombre est impair, égale à la moitié du nombre pair immédiatement supérieur1,2,3. Par exemple :

    s’il y a 100 suffrages exprimés, on obtient la majorité absolue à partir de 51 suffrages exprimés (100 divisé par 2, + 1);
    s’il y a 101 suffrages exprimés, on obtient la majorité absolue à partir de 51 suffrages exprimés (102 divisé par 2).

Majorité absolue ? Wikipédia

Donc à 5 il faut 3 voix, à 4 aussi, à 3 il faut 2 voix tout comme à 2.
Il doit y avoir un piège sur ma majorité mais je ne vois pas.

Je dirais que 5 propose 400 à 3 et 4 et 200 pour lui, 0 pour 1 et 2. Mais pourquoi 400 et non 350, ça …

1 dira toujours non car il voudra être le dernier et tout prendre. A 5, 1 3 et 4 diront non car ils auront plus à gagner plus tard. A 4, 1 dit non tout comme 3 donc 4 meurt, est-ce pour cela qu’il dit oui à 5 ?
Donc 5 propose 1,0,1,0,998 pour lui.

Dernière modification par Surin (05/04/2020 15h35)


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#316 05/04/2020 15h29 → Enigmes mathématiques : trouverez-vous les réponses ? (logique, mathématiques, énigmes)

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Encore une fois, illustration de l’importance de savoir lire correctement un problème posé.. Je me suis fait prendre.  Bonne leçon.

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#317 05/04/2020 16h29 → Enigmes mathématiques : trouverez-vous les réponses ? (logique, mathématiques, énigmes)

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Bonjour

a 3, nous avons vu que 0,0,1000 passe donc 1 et 2 vont accepter à 4 la proposition 1,1,0,998 donc 3 à intérêt à accepter une solution à 5 avec 1. Il faut donc proposer 2 à 1 ou à 2…. 1,0,1,0,998 ne fonctionne pas car 1, 2 et 4 remplissent plus d’objectifs au tour suivant
Idem pour 1,1,1,0,997

Dernière modification par Canyonneur75 (05/04/2020 16h31)

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#318 05/04/2020 16h59 → Enigmes mathématiques : trouverez-vous les réponses ? (logique, mathématiques, énigmes)

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Ma proposition :

A 2 pirates :
- 1 refuse toute proposition pour rester seul
- 2 meurt obligatoirement (même s’il propose de tout donner à 1, il mourra en vertu de la priorité 3 des pirates)

A 3 pirates :
- 1 refuse toute proposition pour arriver au niveau A2
- 2 accepte toute proposition pour éviter le niveau A2
- Pour rester en vie, 3 peut donc proposer de tout prendre (0, 0, 1000) et obtenir la majorité

A 4 pirates :
- 1 accepte toute proposition plus favorable que A3 (il refuse la proposition à 0 en vertu du principe 3)
- 2 accepte toute proposition plus favorable que A3 (il refuse la proposition à 0 en vertu du principe 3)
- 3 refuse toute proposition pour arriver au A3
- Pour rester en vie 4 doit rallier le vote de 1 et 2 en leur faisant une proposition plus favorable que A3. Donc 1, 1, 0, 998

A 5 pirates :
- 1 accepte toute proposition plus favorable que A4
- 2 accepte toute proposition plus favorable que A4
- 3 accepte toute proposition plus favorable que A4
- 4 accepte toute proposition plus favorable que A4 -> impossible, donc il refuse tout
- Pour rester en vie, 5 doit ralier 2 des 3 1er pirates et peut se permettre de proposer par exemple 0, 2, 1, 0, 997

Dernière modification par Bandini (05/04/2020 17h12)

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#319 05/04/2020 18h03 → Enigmes mathématiques : trouverez-vous les réponses ? (logique, mathématiques, énigmes)

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Pour moi, la proposition de (5) est 999po pour lui-même et 1po pour le (2).

(1) votera contre tout
(2) est sur de mourir face à 1, donc devra obligatoirement accepter la proposition de (3)
(3) proposerait donc 0 à (2) et 0 à (1), et 1000 pour lui-même puisque sa proposition est sure de passer.
(4) ne pourra pas convaincre (3) car il ne peut pas lui offrir mieux que 1000po+2morts. Puisque (1) et (3) voteront contre, il est donc obligé d’accepter la proposition de (5)

(5) a donc deux votes contre lui: (1) et (3) et 2 votes pour lui: lui-même et (4)
Il ne lui reste que (2) à convaincre. Et comme (2) est sur de ne rien recevoir, lui proposer une seule pièce suffira à le convaincre

Dernière modification par Faith (05/04/2020 18h05)


La vie d'un pessimiste est pavée de bonnes nouvelles…

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#320 05/04/2020 20h44 → Enigmes mathématiques : trouverez-vous les réponses ? (logique, mathématiques, énigmes)

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Bonjour,

J’ai consulté l’article de wikipédia sur le jeu du pirate et, oh surprise ! , une des hypothèses est différente :

Wikipédia a écrit :

Dans le cas d’une égalité, celui qui a fait la proposition tranche.

M07 a écrit :

S’il y a une majorité (stricte ; c’est à dire plus que la moitié) de réponses favorables la proposition est acceptée

et cela influe grandement sur le résultat… A 2, 2 l’emporte, et à 4, 4 n’a a convaincre qu’un autre pirate.

Canyonneur

Dernière modification par Canyonneur75 (05/04/2020 20h46)

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#321 05/04/2020 21h21 → Enigmes mathématiques : trouverez-vous les réponses ? (logique, mathématiques, énigmes)

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Faith a écrit :

(1) votera contre tout

Pas d’accord … 1 ne votera pas toujours contre puisque s’il le fait, il touchera 0 quand il n’y aura plus que 3 pirates. Il devra donc accepter un deal avant ce niveau  …

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#322 05/04/2020 22h29 → Enigmes mathématiques : trouverez-vous les réponses ? (logique, mathématiques, énigmes)

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M07 a écrit :

Re !

@Gunday a(vait) bien trouvé.

Pas tout à fait, car j’avais pas approfondi la proposition que devait faire 5.
Bref j’ai trouvé l’astuce puis je me suis découragé au moment de franchir la ligne d’arrivée! wink

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[+1]    #323 06/04/2020 19h59 → Enigmes mathématiques : trouverez-vous les réponses ? (logique, mathématiques, énigmes)

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M07 a écrit :

Re !

@Gunday a(vait) bien trouvé.

En effet, s’il reste 2 pirates, 1 refusera, quelque soit la proposition. Donc avec 2 pirates 2 sera toujours perdant, jeté par dessus bord et mourra.

S’il reste 3 pirates, 2 acceptera quelque soit la proposition, pour rester en vie. 3, cupide, proposera donc 0,0,1000 (pour lui).

Il suffit donc à 4 de proposer un peu mieux que 3, par exemple 1,0,0,999

Et il suffit à 5 de proposer un peu mieux que 4, car cela maximisera le gain global pour les autres pirates. Par exemple : 1,1,1,0,997.

Désolé M07 mais je crois que votre réponse n’est pas la bonne.

En effet, pour avoir la majorité absolue nous avons :

A 3 pirates : 0; 0; 1000 => on est tous d’accord

Mais à 4 pirates : 1; 1; 0; 998 => Sinon, les Pirate N°1&2 auront tout intérêt à faire passer par dessus bord le pirate N°4 si leur gain reste à 0 comme ce qui serait proposé par le pirate N°3

Donc, à 5 pirates, nous avons donc deux solutions : 2; 0; 1; 0; 997 ou 0; 2; 1; 0; 997
Il est nécessaire de proposer 2  pièces au pirate N°1 ou au pirate N°2 pour qu’ils préfèrent accepter que t’attendre la proposition du pirate N°4 qui serait obligatoirement de 1 pièce

Qu’en pensez-vous ?

Dernière modification par Tanuky (06/04/2020 19h59)

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#324 06/04/2020 21h19 → Enigmes mathématiques : trouverez-vous les réponses ? (logique, mathématiques, énigmes)

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Je ne vois pas pourquoi a 4 pirates le numéro 4 accepterait 998, il a tout intérêt à laisser mourrir le numéro 1 pour avoir 1000 le coup d’après.

Donc à 4 ça donnerait 998;1;1;0

Dernière modification par myred (06/04/2020 21h21)

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