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Forums des investisseurs heureux

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[+1]    #1 14/05/2020 18h32

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Le but de cette file est de réfléchir à la notion de risque pour un investisseur en pensant de façon probabiliste.

C’est manifestement le mode de pensée sous-jacent aux modèles mathématiques utilisé par la finance moderne.

Je n’y ai jamais vraiment réfléchi, dissuadé par le coût d’entrée pour commencer à manipuler ces modèles en temps continu.

Les modèles en temps discret sont pourtant moins chers et je suis très à l’aise avec l’idée que leurs comportements qualitatifs ne sont pas fondamentalement différents.

*****

Il y a 3 ans, je recevais dans ma boite mail professionnelle un message d’un personne se présentant comme travaillant dans un projet de recherche à HEC. Il avait apparemment envoyé le même message à un échantillon statistiquement représentatif de mathématiciens universitaires.

Il décrivait 4 modeles aléatoires simplifiés (en temps discret) de marché et demandait une estimation du résultat final d’une stratégie lump-sum.  Il fixait comme règle du jeu de lui répondre en 15 minutes.

Je pense que son message est allé à la poubelle chez la majorité des collègues mais je décidai de participer à son enquête.

Dans 3  cas, j’ai répondu que je connaissais une méthode de calcul de l’espérance mathématique du résultat mais que je n’avais pas le temps de faire les calculs en 15’. Pour le 4ème je répondis en disant que c’était un processus stochastique avec temps d’arrêt, que je n’étais pas sur de donner le résultat en moins de quelques jours car je n’ai pas les bons reflexes.

Enchanté d’avoir au moins une réponse, il me répondit que l’espérance mathématique n’est peut être pas la bonne façon de penser au problème en me donnant une caractéristique paradoxale d’un des modèles. 
Intéressant.

J’ai eu l’occasion de réfléchir au problème sur lequel j’avais séché et j’ai trouvé la littérature adéquate.

J’ai simplifié encore le modèle au point de pouvoir essayer d’expliquer le résultat sur ce forum.

******

Au temps 0 un investisseur commence avec une fortune de K euros.

Supposant qu’au temps N entier (c’est ça un temps discret) il a X Euros, au temps N+1 il a X+1 Euros avec probabilité p et X-1 avec proba 1-p sauf si X=0 auquel cas il reste à 0 Euros, puisqu’il est ruiné.

Ce qui se passe dans les transitions du temps N au temps N+1 est statistiquement indépendant de ce qui s’est passé avant N et de ce qui se passera après N+1 (le nom savant est: processus de Markov) .

Le nombre p est compris entre 0 et 1.  p=0.21 correspond à 21% de chance.

Au temps 1, l’investisseur à K-1 avec proba 1-p, K+1 avec proba p.

Au temps 2 il a K-2 avec (1-p)^2, K avec
2p(1-p) K+2 avec p^2.

Etc….

J’ai supposé que K est plus grand que 1, bien sur: la ruine peut survenir en K coups.

Résultats:

Si p<0.5,  avec probabilité 1, l’investisseur est ruiné rapidement.

SI p=0.5,  avec probabilité 1,  l’investisseur finit par être ruiné mais l’espérance mathématique de sa fortune est K. Le temps moyen de ruine est infini ce qui signifie qu’il survit assez longtemps.

Si p>0.5 c’est plus compliqué.

La probabilité de ruine est q^K avec
q= (1-p)÷p <1, c’est à dire qu’il qu’elle décroît exponentiellement vite en la fortune initiale.

SI la ruine ne se produit pas, l’espérance de fortune au bout de N coups est  de l’ordre de (2p-1)N.

En fait le théorème central limite s’applique  s’il n’est pas ruiné et la répartition de sa fortune est gaussienne avec écart type en N^(1/2) comme s’il n’y avait pas la clause de ruine et que les valeurs de portefeuille négatives étaient autorisées.

Mais il ne s’applique pas si la ruine survient.

*******

Le modèle est bien sur un peu ridicule (mais pas plus que les modèles gaussiens qui ont eu l’honneur des gazettes il y a 12-13 ans) toutefois il illustre bien certains phénomènes:

1) Si p<0.5 il ne faut pas entrer sur ce marché. Et si p=0.5 ce n’est pas une super idée.

2) Même si p>0.5, c’est à dire si le jeu vaut la peine d’être joué, il se crée une fracture sociale du seul fait du pas de bol.

3) Dans ce cas la probabilité de ruine décroît vite avec  la mise initiale.

*******

Je ne suis pas tout à fait sur de mon coup mais je verrais bien une définition du risque d’un placement comme une fonction de la probabilité de ruine (ou de division par 2 de la fortune initiale en euros constants).

*******

L’investisseur ultra-conservateur que je suis est conforté par ce modèle dans son opinion que les bénéfices de la prise de risque ne vont vraiment qu’aux investisseurs ayant les reins solides.

.

Dernière modification par Caratheodory (14/05/2020 18h33)

Mots-clés : maths financieres, probabilités, risque

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#2 14/05/2020 19h00

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Caratheodory a écrit :

Supposant qu’au temps N entier (c’est ça un temps discret) il a X Euros, au temps N+1 il a X+1 Euros avec probabilité p et X-1 avec proba 1-p sauf si X=0 auquel cas il reste à 0 Euros, puisqu’il est ruiné.

Le montant de gain ou perte est indépendant du montant investi ?
Etonnant.
Cela veut dire que
si X(n)=2 alors X(n+1) peut être 1 ou 3, soit une variation de +/-50%
si X(n)=100 alors X(n+1) peut être 99 ou 101, soit une variation de +/-1%

Et que le risque de ruine pour un horizon de temps donné dépend davantage de la fortune initiale que de la probabilité de gain/perte…

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#3 14/05/2020 19h23

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Bonjour Caratheodory,

Votre message me rappelle le type d’exercice que nous faisions en introduction aux loteries, en micro-économie.
L’exercice est intéressant, mais je trouve qu’on ne peut en tirer que des conclusions "évidentes" : si on a plus de capital on a moins de chances de faire faillite, certes mais ce n’est pas un scoop. (c’est valable car ici on retire un montant fixe et non pas un pourcentage du capital ce qui serait plus proche de la réalité)
De mon expérience, complexifier le modèle n’apporte pas tellement plus non plus, on finit par arriver sur des modèles impossibles à calibrer.

Si on cherche tout de même à faire le parallèle entre votre modèle et la réalité, il me semble évident qu’on se situe dans le cas p>0.5.
Pour votre remarque sur les euros constants, si l’inflation est constante on peut la réintégrer dans la valeur de p, et donc se ramener à un cas sans inflation.
Mais une fois qu’on a dit ça, qu’est-ce qu’on fait ? Dans la vraie vie, elle ne l’est pas, p ne l’est probablement pas non plus, et rien qu’essayer de définir ces deux éléments comme des suites rend le modèle incalibrable (ou arbitraire), comme dit plus haut. Et je ne parle même pas de remplacer les + et -1 par +a et -b, ni même ajouter plus de cas discrets ou soyons fous, passer en continu…
"Ce qui est simple est toujours faux. Ce qui ne l’est pas est inutilisable." Paul Valéry

Bref, je trouve ce genre de modèle intéressant intellectuellement (encore que, pas tous), mais inutilisables en pratique. J’en parle d’autant plus facilement que mon métier consiste à en construire…

Par curiosité, je serais par contre intéressé par les exercices qu’il vous a proposé, et en particulier celui proposant un cas particulier non intuitif (c’est ce que j’ai compris quand vous parlez de "caractéristique paradoxale" mais j’ai peut-être sur-interprété ce que vous vouliez dire). Éventuellement en MP si vous estimez que ça n’a pas sa place ici.

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#4 14/05/2020 19h39

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Intuitivement, il me semble que la conclusion soit plutôt "Diversifiez un maximum surtout si vous avez un faible K" plutôt que "Ne prenez des risques que si vous avez un gros K", non ? Dans le sens ou chaque ligne d’un portefeuille revient à une simulation indépendante.

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#5 14/05/2020 20h09

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Bonsoir,

déjà c’est très bien de se rendre compte qu’il y a un risque en face de chaque rendement. Certains l’avaient peut être oublié  et les mois derniers leur ont rappelé cette réalité. Pour comparer deux actifs, seul le ratio PERF / RISQUE ENCOURU (volatilité) a un sens.

peut être voir du côté de la construction du portefeuille all weather de Ray Dalio qui part du postulat qu’on ne sait pas prévoir, et que donc il faut se préparer à tout (croissance ou récession X inflation ou déflation) en mixant un certain nombre de classes d’actifs.

ensuite il y aussi ceux qui les pondèrent chaque classe d’actif par la volatilité, ce qui correspond à un modèle de risk parity, bon je caricature un peu mais il y a de l’idée je pense.

bonne soirée.


"Ne nous soumets pas à la tentation du stock picking…" - Portefeuille et Mon blog

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#6 14/05/2020 20h36

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Je m’excuse, je ne suis pas mathématicien donc je dis peut être une grosse bêtise, merci de me corriger.
Il me semble que le postulat suivant ne peut que difficilement s’appliquer à un placement ( en tout cas, ce n’est pas le cas général) :
Ce qui se passe dans les transitions du temps N au temps N+1 est statistiquement indépendant de ce qui s’est passé avant N et de ce qui se passera après N+1 (le nom savant est: processus de Markov) .
Par exemple, l’évolution d’un indice boursier une année n, n’est pas une donnée aléatoire indépendante du résultat de l’année n-1.Il y a un phénomène de retour à la moyenne.
Après une mauvaise année, on peut s’attendre à un meilleur résultat l’année d’après ( et réciproquement).
Je verrai plutôt le risque diminuer avec le temps dans la mesure ou p > 0.5.( le risque diminue avec l’horizon de placement)
La prise de risque bénéficie aux investisseurs patients.

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#7 14/05/2020 20h45

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toufou a écrit :

l’évolution d’un indice boursier une année n, n’est pas une donnée aléatoire indépendante du résultat de l’année n-1.Il y a un phénomène de retour à la moyenne.

Correction : il existe une théorie de retour à la moyenne ; qui est loin d’être vérifiée en pratique sinon les stratégies d’investissement seraient omniprésentes et surperformeraient toutes les autres. Ce n’est pas le cas à ma connaissance.

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[+1]    #8 14/05/2020 21h08

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skywalker31 a écrit :

Pour comparer deux actifs, seul le ratio PERF / RISQUE ENCOURU (volatilité) a un sens.

La volatilité n’est pas pour moi une bonne mesure du risque. Dans quelques particuliers, par exemple si vous devez revendre vos actifs à un moment aléatoire et sans aucune autre alternative, là oui c’est un risque.
Éventuellement, pour une entreprise qui aurait l’obligation de comptabiliser ses actifs en valeur de marché on pourrait argumenter que la volatilité peut être un risque.
Pour un rentier en phase de consommation qui consommerait son capital, la volatilité peut également être considérée comme un risque.

Mais pour la majorité des gens ici, que votre portefeuille progresse linéairement de 6%/an ou que la progression soit chaotique ne change en réalité rien.
Le risque est à mes yeux un risque de perte définitive de la valeur de mes actifs. La volatilité ne rentre donc pas dans ce cadre.

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#9 14/05/2020 22h55

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J’expliquerai les autres modèles par la suite mais il faut un peu de temps pour rédiger et énoncer les résultats sous une forme qui ne soit pas trop incompréhensible.

Il y a beaucoup de forumeurs qui ont une certaine compréhension qualitative du risque mais très peu et uniquement des professionnels de la finance en ont une compréhension quantitative.  Ça m’intéresserait de progresser dans cette direction.

Je souscris à votre remarque sur la diversification, doubletrouble. C’est bien une conséquence de votre modification du modèle.

*****

Le problème que le gain à chaque pas ne dépend pas de la fortune rend effectivement le modèle irréaliste. C’est une conséquence d’un biais mathématicien qui est que je porte mon attention sur les phénomènes asymptotiques, c’est à dire qui ne se produisent que quand N tend vers l’infini.
Keynes a certes  une manière moins réjouissante d’envisager le long terme….. 

Il y a une façon très simple de répondre à cette objection en produisant un modèle qualitativement équivalent mais quantitativement différent.

Pour a>1  le processus a^X
modelise la situation suivante:

Au temps 0 on part avec a^K.

De N a N+1 le capital prend ou perd 100(a-1)%.

On est ruiné quand on est rendu à 1.
On peut imaginer que 1 correspond à 0.01€ et que le courtier décide de fermer le compte-titres s’il descend sous cette somme!

Les probabilités de ruine sont évidemment inchangées.

Si on n’est pas ruiné la fortune croitra exponentiellement mais avec des écarts de fortune  exponentiels à l’intérieur même de la classe favorisée. 

Le modèle ou les gains/pertes ne dépendent pas pas de la fortune ressemble à un système socialiste avec persistance de la propriété privée sans taxation du patrimoine où chacun consomme la même quantité mais a ses revenus taxés de telle sorte que les niveaux de vie sont totalement égalisés. De plus comme chez Jean Ferrat, il y a une année bonne et l’autre non.

Cette interprétation illustre surtout que les modèles mathématiques ne dépendent pas de ce qui est modélisé. 

*****

Un truc totalement fou dans les cours de finance mathématique moderne (je consulte ceux de l’X en ce moment) est qu’ils insistent sur la fausseté de leurs modèles. Il y a plusieurs raisons pour celà. Mais c’est une toute autre histoire qui ne se raconte pas en langage mathématique.

toufou a écrit :

Je m’excuse, je ne suis pas mathématicien donc je dis peut être une grosse bêtise, merci de me corriger.
Il me semble que le postulat suivant ne peut que difficilement s’appliquer à un placement ( en tout cas, ce n’est pas le cas général) :
Ce qui se passe dans les transitions du temps N au temps N+1 est statistiquement indépendant de ce qui s’est passé avant N et de ce qui se passera après N+1 (le nom savant est: processus de Markov) .
Par exemple, l’évolution d’un indice boursier une année n, n’est pas une donnée aléatoire indépendante du résultat de l’année n-1.

Ce n’est pas une bêtise. C’est un appui sur là où ça fait mal. L’incalculabilité du non-markovien. Mais le point de vue markovien autorise  une dépendance des probabilités de transition au temps N par rapport au temps discret N,  à X_N et plus encore.

Dernière modification par Caratheodory (14/05/2020 23h51)

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#10 15/05/2020 07h26

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Bonjour,
Je n’ai que de très vagues notions de mathématiques financières, donc je vais peut-être dire des bêtises!
Le mot risque apparaît sous plusieurs formes dans le domaine de l’investissement et est la plupart du temps lié à la ruine de l’investisseur (ou à une perte importante de capital).

1) Risque/volatilité La volatilité apparaît comme une opportunité pour qui veut s’enrichir par des achats/reventes. Ce peut également être un risque de se planter et de s’appauvrir. Anarcheon résume bien la situation dans son message. De mon point de vue, le risque lié à la volatilité concerne essentiellement le système nerveux de l’investisseur…

2) Prime de risque/aversion au risque: il existe une notion (fiction?) selon laquelle il existe un placement sans risques: celui des obligations d’Etats. A partir du moment ou l’on veut obtenir plus de rendement que le taux sans risque, il faut prendre des risques. Question: l’espérance des rendements des placements avec risques est-elle/sera-t-elle supérieure au taux sans risque? Je l’espère …

3) Probabilité risque-neutre: ça devient plus compliqué! (voir par exemple ici à partir de la page 15). L’idée derrière cette expression "risque-neutre" est liée à l’aversion au risque. Je préfère citer ce cours du Ceremade plutôt que le paraphraser:

Cours du Ceremade a écrit :

Le terme "risque neutre" provient de la théorie économique : si les intervenants n’ont pas d’aversion au risque, ils vont s’accorder pour évaluer la valeur d’un portefeuille comme l’espérance actualisée des flux qu’il génère. L’introduction de cette probabilité permet de faire comme si les agents étaient neutres au risque, mais attention ce n’est pas le cas ! ! !

@toufou: vous avez raison: supposer un caractère markovien est irréaliste (on parle parfois des processus de Markov comme de processus sans mémoire). Mais il existe énormément de modèles avec mémoire et des dépendances plus ou moins fortes au passé.

@Caratheodory: je ne comprends pas votre remarque sur l’incalculabilité du non-markovien. Quant à la fausseté des modèles utilisés en modélisation mathématique (pas seulement financière), c’est un vaste programme!

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#11 15/05/2020 07h53

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Calculer un processus markovien revient en gros à faire des produits de matrices. Si les transitions sont indépendantes du temps on calcule des puissances de matrices. Il n’y a que peu de situation mathématique ou on sache si bien ce qu’il faut faire qu’avec les puissances de matrices.

Il n’existe pas d’outil mathématique de cette nature en non-markovien. Ca ne veut pas dire qu’on ne peut rien faire juste qu’on part à l’aventure dans une zone inexplorée.

Évidemment on peut toujours demander à l’ordinateur de faire les calculs, mais par définition en non-markovien  les dépassements de mémoire sont au programme!

Dernière modification par Caratheodory (15/05/2020 08h17)

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#12 15/05/2020 08h24

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@toufou : Sur un horizon de temps long (le temps discret n’impose pas d’unité, après tout, ça peut être aussi bien des secondes que des années), je ne trouve pas ça absurde de considérer que N et N+1 sont indépendants : dans un calcul de risque, on veut justement modéliser "la tuile", qui fait que par exemple cette année une entreprise qui a fait un excellent bilan l’année dernière va se faire tronçonner par le COVID sans faute de sa part. Le modèle de Caratheodory est réaliste de ce point de vue là. Le seul bémol, c’est que dans l’incapacité de calculer p dans le monde réel, la seule chose à faire est de dispatcher son capital global entre un maximum d’assets sans relations entre eux. En revanche, contre intuitivement, faire all-in quand on a un gros K semble une stratégie payante ?

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#13 15/05/2020 09h40

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On ne peut pas calculer p mais on peut l’estimer par des techniques de statistiques inférentielles. Qui  peuvent même invalider le modèle! C’est une des partie des maths que je comprends le moins bien mais ça existe.

Quand bien même ça marcherait, la détermination à priori de p par un modèle économique est un problème bien plus dur.

La définition de risque, si elle repose sur des propriétés mathématiques d’un modèle probabiliste en temps discret (on peut toujours restreindre le processus temps continu au temps discret) , doit être indépendante des détails du modèle et doit faire sens en non-markovien.

Ps: je vais regarder le cours de Dauphine, il est moins inhumain que ceux de l’X.

Dernière modification par Caratheodory (15/05/2020 09h42)

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#14 15/05/2020 16h27

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Concernant l’estimation de p: je reprends votre modèle du premier message. Notons X_i la valeur du gain à l’instant i: X_i vaut 1 avec probabilité p et -1 avec probabilité 1-p; du moins tant que vous n’êtes pas ruiné. On note S_N votre fortune à l’instant N.
Vous voulez estimer la probabilité d’être ruiné; il vous suffit pour cela d’estimer p.
Deux cas de figures:
1) Vous finissez ruiné. Il n’est pas possible d’estimer p; il n’est même pas possible de savoir si p est inférieur ou supérieur à 1/2. Vous ne saurez donc pas si vous avec fini ruiné parce que c’était normal (p <=1/2) ou parce que vous n’avez pas eu de chance (p>1/2).
2) Vous ne finissez pas ruiné (ce qui implique implicitement p>1/2). Lorsque N grandit, par simple application de la loi des grands nombres, S_N/N va converger vers 2p-1 et vous pouvez estimer p. Vous êtes donc capable d’estimer la probabilité d’être ruiné parce que vous n’avez pas fini ruiné!

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#15 15/05/2020 19h11

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On ne peut pas estimer p en observant un seul portefeuille.

Voilà comment s’applique  le plus simple des résultats intéressants des statistiques inférentielles si je le cite correctement: 

Il faut observer 1000 portefeuilles de 1000 personnes différentes pour donner un estimation acceptable de p avec +/- 3% de marge d’erreur en ayant moins de 5% de chance de se tromper (et encore j’ai un petit doute sur les valeurs de p très proches de 0 ou 1).

C’est en raison du même résultat que les échantillons des sondages sérieux lors des élections sont de 1000 personnes.

Pour avoir une marge d’erreur de +/-0.3% en ayant moins de 5% de chance de se tromper il faudrait des échantillons de 100000 personnes!

Il faut prendre les  3% de marge d’erreur comme un ordre de grandeur un peu pessimiste. Selon ce que j’en comprends, les instituts de sondages ont des méthodes, prenant en compte d’autres observations,  qui permettent de faire un peu mieux mais je n’ai jamais rien lu la dessus et je suis beaucoup plus ignorant en stats qu’en probas.

Je n’aborde pas le cas des tests médicaux surtout que les faux positifs brouillent les cartes quand les taux de prévalence sont faibles. Cependant la malédiction du nombre 1000 les  frappe aussi.

*****

J’avais promis les petit jeux du chercheur d’HEC

Commençons par le plus simple. On part avec 5€, à chaque coup on gagne 1.1€ avec proba 0.5  et on perd 1 € avec proba 0.5. On a le droit d’être a découvert d’une somme arbitraire.
E_N l’ espérance de fortune au temps N est:
E_N=5+0.05*N
X_N/N tend vers 0.05 avec proba 1.

Le plus compliqué est ce même modèle avec ruine et sortie du jeu comme j’ai raconté. Le comportement ressemble à mon modèle avec p=0.525 (la proba de ruine finale sera plus compliquée à estimer).

Un jeu facile. On part avec 1€. Le portefeuille double avec proba 0.5 et reste inchangé avec proba 0.5.
E_N= (1.5)^N. Mais là vient le truc marrant: avec probabilité 1 la fortune de chaque joueur est de l’ordre de (1.4)^N - le 1.4 est en fait la racine carrée de 2. Donc il y a une partie de taille de plus en plus petite qui devient infinement plus riche que Mme Michu.

Le même jeu avec une fortune multipliée par 1,6 avec proba 0.5 et 0.5 avec proba 0.5. E_N=(1.05)^N mais avec proba 1 la fortune de chaque joueur est de l’ordre de q^N avec q<1 donc en temps infini la ruine a une probabilité de 100%. q est la moyenne géométrique de 1.6 et 0.5, 1.05 la moyenne arithmétique.

Et si c’était la raison de l’impopularité des marchés boursiers en France? En tous cas, c’est le modèle qu’il trouvait le plus interessant. Curieusement je n’avais jamais fait l’exo tout ce que j’avais vu est qu’il était trivial *mathématiquement* mais pas qu’il etait non trivial financièrement.

Dernière modification par Caratheodory (15/05/2020 20h13)

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[+1]    #16 15/05/2020 23h06

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Sujet oh combien pertinent.

Je soulignais l’importance de considérer le risque de ruine et pas seulement l’espérance dans  ce message, mais cela n’a pas eu l’air de soulever les foules !

J’essaierai de développer davantage ce week-end si je trouve du temps, je m’excuse pour la réponse rapide !

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#17 16/05/2020 10h32

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Caratheodory a écrit :

Il faut observer 1000 portefeuilles de 1000 personnes différentes pour donner un estimation acceptable de p avec +/- 3% de marge d’erreur en ayant moins de 5% de chance de se tromper (et encore j’ai un petit doute sur les valeurs de p très proches de 0 ou 1).

Vos 1000 portefeuilles vont être très fortement corrélés, le théorème de la limite centrale classique ne s’applique plus et il sera  très difficile (impossible?) de savoir ce qui le remplace.

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[+2]    #18 16/05/2020 12h28

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Bonjour,

Travaillant dans la modélisation financière, je vais essayer d’apporter ma pierre à l’édifice. Je pense que la probabilité de ruine n’est pas une métrique très exploitable/mesurable car en général les modélisations se font en % du capital, c’est-à-dire que le capital K(t+1) est obtenu à partir du capital K(t) investi en t et du rendement eta(t) entre ces deux dates : K(t+1) = K(t) * (1 + eta(t)). En temps continu la logique est sensiblement la même (multiplicative).

En modélisation financière on distingue souvent les problématiques d’allocation "stratégique" et les problématiques d’allocation "tactique". L’allocation stratégique consiste à déterminer comment allouer son investissement en fonction de grandes classes d’actifs. L’allocation tactique ressemble plus à du stock picking et au souhait de capter des tendances du marché.

A mon avis la probabilité de ruine est plutôt à considérer dans un cadre "allocation stratégique" puisque l’on cherche à déterminer la probabilité d’être ruiné avec son portefeuille tout entier (à moins d’être exposé entièrement sur une seule action…). Par ailleurs, les modèles sont des outils d’aide à la décision (ils donnent des ordres d’idée, permettent d’observer l’historique, de mesurer le risque en fonction de certaines hypothèses, etc.). Ils ne vous permettront pas de devenir riche facilement et autant vous dire que plus vous modélisez quelque chose de précis (une seule action VS toutes les actions euro AA) moins ils sont utiles. En bref, mesurer la probabilité de ruine en étant exposé sur une seule action est possible avec n’importe quel modèle à condition que le résultat ne soit absolument pas fiable smile.

Maintenant concernant l’allocation stratégique. Les modèles d’allocation stratégique les plus simples n’ont que deux classes d’actifs : les actions et les obligations. Les modèles plus complexes peuvent prendre en compte d’autres actifs (immobilier, monétaire, etc.), des zones géographiques (euro, US, etc.) et des notations (S&P, Moody’s, etc.).

Dans tous les cas avec ce type de modèles, bien sûr le rendement eta(t) peut être négatif mais très peu de modèles considèrent qu’il peut atteindre -100%. En effet à l’échelle de plusieurs classes d’actifs avoir un rendement de -100% correspond en gros à l’effondrement de l’intégralité du système économique. Même si certains diront que c’est une éventualité, la probabilité que cela arrive n’est pas "calibrable" (puisque ce n’est jamais arrivé).

Dès lors en modélisation il ne peut y avoir ruine que si l’on prend en compte des passifs (dettes, emprunts bancaires) ou des actifs "négatifs" (positions shortées). C’est ce que font les réglementations bancaires et assurantielles (Solvabilité 2, Bâle, etc.). Par exemple un assureur a des dettes envers ses assurés (les sinistres) et sous Solvabilité 2 il doit disposer de suffisamment de fonds propres pour réduire sa probabilité de ruine sur un an à un minimum de 0,5% (c’est bien sûr plus complexe dans la pratique). Pour un investisseur particulier vous pouvez faire une analogie avec vos dépenses de la vie courante et vos emprunts bancaires pour obtenir des passifs et donc mesurer votre probabilité de ruine.

Concernant la mesure du risque vous connaissez tous la volatilité, qui a ses avantages et ses défauts. En modélisation financière on utilise aussi fréquemment des quantiles (par exemple pour un quantile à 90%, vous ne pouvez perdre plus d’argent que ce quantile que dans 10% des cas). En effet les quantiles ont l’avantage d’être interprétables et permettent de mesurer l’impact d’une crise plus ou moins probable sur son portefeuille. En plus c’est une notion qui permet de contrôler la probabilité de ruine (si le quantile à 95% de mes actifs moins mes passifs est positif, cela signifie que la probabilité de ruine est < 5%). Notez que les mesures de risque les plus complexes qui sont utilisées font partie de ce que l’on appelle "les mesures de risque cohérentes". Un exemple de mesure cohérente est la moyenne des pertes effectuées dans les 10% pires scénarios. Mais vous voyez déjà le problème : cela parle moins qu’un quantile.

Les outils d’aide à la décision les plus intelligents/perfectionnés que j’ai eu l’occasion de voir sont pragmatique/interactif. Vous prenez les différents indicateurs qui vous intéressent :
- Le rendement moyen de votre portefeuille
- La volatilité de votre portefeuille
- Quelques quantiles 70%, 95%, 99%
- Eventuellement une mesure "cohérente" si ça vous amuse (mais ça a peu d’intérêt selon moi)
Vous faites tourner des algorithmes d’optimisation pour supprimer les allocations sans intérêt ("frontière efficiente" pour les matheux) et vous supprimez les allocations en dehors de vos critères personnels (par exemple vous savez que vous voulez maximum 70% d’actions). Ensuite vous visualisez les indicateurs obtenus sur plusieurs allocations relativement différentes et représentatives de l’ensemble des possibles. Vous pouvez même visualiser ces indicateurs sous plusieurs modélisations différentes, pour voir ce que cela changerait de s’être "trompé" sur une hypothèse.
Enfin, vous faites votre choix. Vous ferez donc un choix partiellement subjectif. Et c’est bien normal avec les marchés financiers : personne n’est devin.

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#19 16/05/2020 16h12

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Alpins a écrit :

Caratheodory a écrit :

Il faut observer 1000 portefeuilles de 1000 personnes différentes pour donner un estimation acceptable de p avec +/- 3% de marge d’erreur en ayant moins de 5% de chance de se tromper (et encore j’ai un petit doute sur les valeurs de p très proches de 0 ou 1).

Vos 1000 portefeuilles vont être très fortement corrélés, le théorème de la limite centrale classique ne s’applique plus et il sera  très difficile (impossible?) de savoir ce qui le remplace.

Vous avez raison de préciser cette hypothèse et de donner l’idée de la preuve du theoreme. 

C’est pourquoi il est de bonne méthodologie est d’observer des portefeuilles sur 1000 mois au moins.

John Bogle regarde l’evolution des marchés actions depuis 1800.  Maintenant il n’est pas déraisonnable  de regarder des données sur l’évolution annuelle du marché sur 30 ans, sur 75 ans,  sur 150 ans et sur 220 ans. 

Il est toujours possible que "Cette fois, c’est différent" et ce le sera nécessairement un jour.  Par exemple, quand le soleil sera une géante rouge. Mais ça viendra bien avant.

La corrélation des portefeuilles devrait passer en effet par la conjoncture.   Sur une très longue périodes on peut supposer que la conjoncture en a vu de toutes les couleurs.

L’hypothèse que je ferais pour le marché actions est:

- la loi de log X_{N+1} sachant log  X_N
a une variance élevée
- mais une dépendance assez molle en N.  Disons avec une échelle de temps de l’ordre de la décennie.
- qu’elle est une résultante de la structure économique sous-jacente.

Je n’ai pas d’hypothese pour sa dépendance en X_N.

C’est juste une façon compliquée d’exprimer ce que je comprends des statistiques mises en avant par Bogle.

Mais j’ajouterai un grain de sel: elle n’est apparemment pas gaussienne (l’idée est due à Benoit Mandelbrot et a causé un certain émoi il y a 12 ans.).

Bref, tout ça modélise le marché et non le risque.

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#20 17/05/2020 09h46

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Les lois gaussiennes sont des cas d’école mais elles sont très peu utilisées car elles n’ont pas une queue de distribution assez "lourde" : elles sont symétriques (autant de chance d’être au dessus qu’en dessous du rendement moyen) et donnent une probabilité trop faible aux évènements adverses ("de crise").

Comme cela a été si bien dit plus haut, toutes les lois sont fausses : vous en choisirez une plutôt qu’une autre également en fonction de votre besoin. Si votre objectif est de contrôler votre risque, notamment en cas de scénario adverse, alors clairement il faut choisir une loi à queue plus lourde qui vous permet de prendre en compte ce genre de scénarios. Mais vous complexifierez aussi grandement votre modélisation (ce n’est pas pour rien que les lois gaussiennes sont toujours des cas d’école : elles sont simples !)

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[+2]    #21 17/05/2020 13h20

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Bonjour à tous,

Plutôt que de partir du modèle pour aller vers la réalité, je suivrais la démarche inverse, partir des données de la réalité et essayer de construire un modèle ensuite.

Dans un premier temps, je ferais une liste des risques qui reposent sur un investissement en action:

-La volatilité, vu que l’on se place dans une optique rentière buy and hold à long terme, on peut l’ignorer comme suggérer au-dessus.

-Le risque de faillite, S&P à créer une étude sur le sujet, le risque de faillite en fonction de la notation et du temps de détention. Si on ne trouve pas de notation Aswath Damodaran a publié sur son site une formule pour créer un rating synthétique.

-Le risque de manipulation comptable, qui peut mener à une faillite (Enron, Let’s gowex etc…) ou a une belle moins values (voir certaines foncière du portefeuille de l’IH). Un outil qui peut être utilisé est le Beneish M-score de Messod D. Beneish. Certains pays ont aussi une comptabilité plutôt douteuse comme la Chine.

-Le risque législatif. L’Amérique du sud est la championne de l’expropriation, certaines activités peuvent devenir illégale (une pensée pour la prohibition, mais on peut penser aussi aux normes environnementales, etc…) ou avec des prix encadrés (immobilier par exemple).

-Le risque fiscal. Certaines activités peuvent se voir subitement surtaxées pour des raisons diverses et variées, ce qui va handicaper le rendement. Par exemple les banques françaises en échange d’un sauvetage ont eu le droit a une nouvelle taxe, les taxes carbone pour l’environnement, la taxe GAFA etc…

-Le risque propre au business de la société, déclin, mauvaise gestion, etc… Pourquoi ne pas utiliser le F-Score de Piotrosky et mesuré pour chaque note la probabilité que l’activité chute ou progresse.

-Risque monétaire, je devrais dire de taux, en 1987 et en 2007 pour moi, c’est surtout l’effet d’une remontée des taux trop brutal qui a mis le feu aux poudres (à étudier évidemment), on pourrait parler de risque systémique.

Je pense aussi à d’autres risques, mais qui me paraissent plus difficile à étudier, plus rares ou exotiques, comme les risques sociaux (j’admets qu’en France, il faudrait l’étudier), d’effondrement du pays (je pense à l’Amérique du sud, l’Afrique, etc…), certaines opérations suspicieuses sur les marchés (pump and dump sur les small-caps, activistes, offre de retrait à prix douteux), guerres commerciales, etc…

Ensuite, j’essaierais de récupérer et compilé toutes les données venant des études sur le sujet ou de les faire moi-même.

Par exemple pour le F-score qui est une note de 0 à 9 (pratique on est en décile), je récupérerais les données boursières de 2007 à maintenant (pour avoir un cycle complet) et pour chaque décile, j’étudierais comment les sociétés ont évolués (F-score de la période suivante, progression du cours, etc… à nous de voir).

A partir de ces données je jugerais de la pertinence d’une méthode, par exemple en utilisant un graphique en nuage de point pour le visuel, régression linéaire avec facteur de confusion élevé etc… Si c’est pertinent, je garde, sinon je teste une autre méthode. Et j’éliminerais par simplification les facteurs de risques sans intérêt, par exemple trop rare et à impact faible voir nulle.

Ensuite, j’essaierais de faire mon modèle à partir de tout ça, je vois bien un genre de scoring avec un poids pour chaque risque en fonction de la pertinence. Et enfin, je l’évaluerais sur un échantillon d’entreprise que je n’aurais pas utilisé lors des étapes précédentes pour éviter une sur-optimisation.

Je précise que je suis un allergique au risque. Pour mon portefeuille, j’ai toujours un regard sur la VAR, ratio de Sharpe, Sortino, volatilité et je fais des stress-tests régulièrement. Mais je n’irais pas faire ce genre d’études, je préfère me couvrir avec des options, et même les utiliser comme moteur de performance, je ne suis absolument pas un investisseur buy and hold.

Je précise que je suis un allergique au risque. Pour mon portefeuille, j’ai toujours un regard sur la VAR, ratio de Sharpe, Sortino, volatilité et je fais des stress-tests régulièrement. Mais je n’irais pas faire ce genre d’études, je préfère me couvrir avec des options, et même les utiliser comme moteur de performance, je ne suis absolument pas un investisseur buy and hold. Pour chaque position, je me contente de faire une simulation de Monte-Carlo pour estimer le PNL en fonction de la volatilité attendu.

Un dernier point je ne suis pas très disponible en ce moment donc je ne pourrais pas répondre avant un certains temps.

Dernière modification par JohnGaltTagart (17/05/2020 13h43)

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#22 21/05/2020 12h09

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Bonjour,

@JohnGaltTagart, vous dites plusieurs choses pertinentes et c’est intéressant car vous avez plutôt une vision "stock picking" tandis que j’abordais plutôt le sujet avec une vision "comment déterminer les principales poches d’actifs de mon portefeuille ?"

Quelques éléments me dérangent dans votre réponse :
* Vous mentionnez plusieurs risques qui semblent bien difficiles à mesurer et que je ne choisirais clairement pas d’introduire dans un modèle (au risque de trop le complexifier et d’y perdre plus que d’y gagner).
Je pense qu’il faut parfois simplement s’efforcer d’être conscient de certains risques sans chercher à les modéliser. En tant qu’investisseur j’accepte d’investir dans des sociétés soumises au risque fiscal et j’accepte d’y être moi-même soumis. Je ne mesure pas ce risque.

* Vous suggérez d’utiliser un scoring agrégeant des mesures de différents risques ; mais un tel scoring n’est-il pas impossible à calibrer mathématiquement ? Comment donc allez-vous choisir de pondérer ces différentes mesures ? Cela est d’autant plus complexe que les risques que vous mentionnez ne sont pas indépendants, mais tous corrélés entre eux.
C’est néanmoins une idée qui me semble intéressante. Vous pouvez définir un score plus ou moins heuristiquement, et même s’il n’est pas parfait il peut vous permettre de "réduire le champ des possibles" : par exemple en vous permettant de supprimer d’office des titres "mal scorés" et de vous intéresser uniquement à ceux ayant un score supérieur à un seuil.
Mais après cela je pense que vous serez obligé de vous ré-intéresser plus précisément aux titres en question en visualisant vous-même les différents indicateurs à votre disposition (vous ne ferez pas aveuglément confiance au score, vous regarderez au moins comment il se décompose).
N.B. : La personne à l’origine de ce forum n’a-t-elle pas créé l’IH score ? smile

* Vous suggérez de baser l’étude sur l’historique de 2007 à maintenant. C’est une possibilité mais il faut faire très attention car prendre un historique différent (plus large, plus court, ou à une autre période) est très très impactant sur les résultats. En outre en matière de risque (surtout financier) il n’y a aucune bonne méthode de calibrage et il est en général plus que recommandé de tester plusieurs scénarios ou historiques différents.
Par ailleurs il faut garder en tête que les modèles font (quasiment) tous une hypothèse extrêmement forte : toutes les observations passées sont indépendantes, ont la même loi de probabilité et sont représentatives de ce qu’il pourra se passer dans le futur. En gros c’est un peu comme supposer que la conjoncture économique, politique, (sanitaire même !), etc. est parfaitement stable et constante ! Dans le cas de mesures de risques sur une société, c’est aussi supposer que son environnement (concurrentiel, économique, fiscal, etc.) n’a pas changé.
C’est toute cela qui rend une mesure de risque très populaire auprès des investisseurs institutionnels : les scénarios adverses/stress tests. Il s’agit tout simplement de définir un scénario "redouté" (exemple : remontée subite des taux, chute des cours actions, les deux, etc.) et de mesurer comment le portefeuille se comporte dans ce scénario.

* Pour finir, je suis assez surpris par la méthode que vous décrivez pour vous-même ?! Mesurer des tonnes de ratio, la VAR (comment d’ailleurs ? Vous la mesurez à l’échelle d’un titre ou de votre portefeuille ?), stresser votre portefeuille et faire des estimations Monte-Carlo du P&L me semble excessif pour un investisseur particulier (en tout cas cela est totalement inaccessible à quasiment tout le monde, même aux lecteurs de ce forum). Vous ne faites pas du B&H, mais vous devez énormément trader chaque jour ? Vous utilisez des logiciels ? Si ce que vous dites est vrai vous devez avoir réussi à vous faire beaucoup d’argent récemment avec la forte volatilité ?
Dans tous les cas, à moins de suggérer aux lecteurs du forum de faire un M2 de finance quantitative (ou de lire 20 bouquins sur le sujet et d’apprendre à coder pour les autodidactes, soyons fous) je doute que ces derniers puissent exploiter et apprendre de votre stratégie.

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#23 21/05/2020 22h51

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Bonsoir Mopp,

Je voudrais vérifier que le comprends bien  la notion de quantile.

On se donne un portefeuille de valeur X_0 en 0, X_T en T.  X_0 est connu X_T est une variable aléatoire dont on valide la loi par des méthodes statistiques en faisant des backtests.

La quantile à 90% est il la plus petite perte potentielle L telle que
P(X_0-X_T > L)<0.1?

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#24 22/05/2020 05h53

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Je trouve cela plus intuitif de dire la plus petite perte L telle que :
P(X_T>X_0-L)>0.9
Mais effectivement cela revient au même !

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#25 22/05/2020 09h50

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A la nuance > /  >=  près. Votre remarque suppose une hypothèse de continuité sur la fonction de répartition de X_T. 

L’objet essentiel est cette fonction de répartition qui décrit complètement la loi de X_T dans le modèle de marché.

@JGT: est ce que vous pourriez élaborer sur le risque de manipulation comptable et surtout sur comment il s’applique dans le cas des foncières cotées?

Les statistiques que vous avez données sur les faillites des entreprises en fonction de leur note de crédit n’incluent-elles pas cette éventualité?

N’y a t-il pas un autre risque dans le cadre du marché actions: celui qu’il y ait recapitalisation fortement dilutive pour justement éviter la faillite?

La difficulté avec votre approche est qu’elle demande bien plus qu’un M2 de finance quantitative, elle demande une pratique professionnelle de la finance avec le maniement d’outils et de techniques délicats, pratique qui ne s’acquiert que sur le terrain en apprenant au contact de techniciens aguerris qui investissent en vous.

Quoi qu’il en soit, qu’il soit possible ou non d’appliquer vos méthodes, que ceci soit votre vision, de professionnel de la finance, du risque financier me parait une information pertinente.

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