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#1 10/08/2015 20h39 → Enigmes mathématiques : trouverez-vous les réponses ? (logique, mathématiques, énigmes)

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Réputation :   146 

Amis des maths, bonjour !

Pour nous détendre en période estivale, rien de tel que quelques énigmes mathématiques. Quel rapport avec l’investissement me direz-vous ? A peu près aucun, si ce n’est le caractère contre-intuitif de certaines réponses comme peuvent l’être certains investissements en actions.

A noter: certaines énigmes ont un niveau de difficulté élevé, de mon point de vue, pour qui n’a jamais vu la solution, comme l’égalité déstabilisante. D’autres sont plus abordables.

Dirigeable - Résolu (source: Yakov -et non Grigori- Perelman)

Un dirigeable part de Leningrad (ou Saint-Pétersbourg pour les plus modernes d’entre nous) et effectue le parcours suivant:
500 km vers le Nord
500 km vers l’Est
500 km vers le Sud
500 km vers l’Ouest.

Où se trouve le dirigeable à l’issue de ce parcours ?

Bravo à Dominique, à Elodie01 (atterrissage dans le lac Ladoga) et à Gas(téro)pode, avec un temps de retard mais magistral.

Allumettes et triangles - Résolu (source: Bernard Werber)

Est-il possible, avec 6 allumettes, de former 4 triangles équilatéraux (dont le côté mesure la longueur d’une allumette) ?

Bravo Elodie01, Mehdi57 et Gaspode.
KO Dash => le côté mesure la longueur d’une allumette

Est-il possible, avec 6 allumettes et sans les casser, de former 8 triangles équilatéraux (dont le côté ne mesure pas nécessairement la longueur d’une allumette) ?

Bravo Elodie01 toujours et Mehdi57. Fera-t’elle une nuit blanche pour résoudre toutes les énigmes ? Suspens !

Face et surface - Résolu

Une pièce de monnaie a deux côtés. Une feuille a deux côtés. Existe-t-il une surface à un seul côté ?

Une boule est un volume et non une surface.
La sphère a deux faces distinctes: intérieur et extérieur.
Le disque en 2D a également deux faces, comme la pièce de monnaie (en haut et en bas). Si l’on considère qu’une pièce a une épaisseur et donc une tranche, la surface est l’enveloppe de la pièce et il y a donc deux faces: l’intérieur de l’enveloppe de la pièce et l’extérieur.
Il ne s’agit pas non plus de la surface de l’eau qui a un dessus et un dessous (en la considérant toujours comme une surface et non comme le volume de l’eau).


KO Dash => Peut-être OK mais… il y a plus simple… et toujours avec Mr Möbius…
Bravo Elodie01. Elodie01 ou Dash… qui va triompher… suspens !
Mention spéciale pour Gaspode et la bouteille de Klein: amis de la topologie, bonjour ! Il faudra que vous nous expliquiez la démonstration de la conjecture de Poincaré de Perelman…

Egalité déstabilisante - Résolu

Cette égalité est-elle vraie: 1+2+3+4+… (jusqu’à l’infini) = -1/12 ?

Elodie01 finalement KO (mais cette énigme est très difficile, au moins pour le simple mortel que je suis)
Bravo à Dash… ou à Mickaël Launay ? Pour l’anecdote, je suis régulièrement la chaîne Youtube de Mickaël Launay… j’ai même acheté l’un de ses livres, l’affaire Olympia => Pas mal pour les ados à mon avis: http://www.amazon.fr/gp/product/274650698X, quoi que j’ai été un peu déçu par le comptage des losanges (j’en voyais beaucoup plus: avec des côtés de longueur 2, 3 , 4, etc… et pas uniquement de longueur 1…) mais c’est un détail. Précision: je n’ai aucun lien avec l’auteur du livre; il ne s’agit pas d’une pub.
Gaspode a raison… d’un certain point de vue… Il ne faut pas montrer cette égalité à un prof de maths… mais vu les applications en physique, on va conclure que l’égalité est vraie. Les physiciens sont nos amis !

Hôtel infini - Partiellement résolu - Voir les solutions

Vous êtes gérant d’un hôtel contenant une infinité de chambres numérotées 1, 2, 3, 4, …

a. - Résolu Un bus contenant une infinité de personnes (numérotées 1, 2, 3, 4, …) arrive devant l’hôtel et le gérant du bus vous demande si vous avez suffisamment de place pour accueillir ce groupe.
Pour déterminer s’il y a suffisamment de place dans l’hôtel, il faut pouvoir indiquer à chaque personne son numéro de chambre.

b. - Résolu Voici une solution simple du problème a. La nième personne du bus va dans la nième chambre. Chaque personne du bus a donc une chambre.

Toutes les chambres de l’hôtel infini sont maintenant occupées. On peut donc dire que l’hôtel est plein.

Une personne arrive et vous demande s’il y a encore de la place pour elle dans l’hôtel. Que lui répondez-vous ?

Attention, il n’est pas possible de mettre plusieurs personnes dans une chambre ni de créer de nouvelles chambres ni d’héberger cette personne ailleurs que dans l’une des chambres de l’hôtel, ni de l’héberger à l’infini. Il faut donner à chaque personne un numéro de chambre de manière non ambiguë.

Indice: il est possible de déplacer des personnes déjà hébergées dans l’hôtel.

Bravo Dash, le roi de l’infini (dénombrable) + 1 !

c. - Résolu On repart d’une situation dans laquelle l’hôtel est vide. Arrivent maintenant 2 bus avec une infinité de personne. Le responsable des bus vous demande si vous avez assez de place dans votre hôtel pour héberger toutes ces personnes.

Attention. Il n’est pas possible de dire:
On place des personnes à l’infini.
On mélange les personnes des deux bus et chacun reçoit une chambre.
On met plusieurs personnes par chambre.
On crée de nouvelles chambres.
Etc…

L’énigme (pour chaque paragraphe) consiste à déterminer un numéro de chambre pour chaque personne de chaque bus (en admettant que cela soit possible): chaque personne de chaque bus doit avoir un numéro de chambre. Une personne maximum doit être hébergée dans chaque chambre.

Bravo Dash, le roi de l’infini (dénombrable) x 2

d. - Résolu On repart d’une situation dans laquelle l’hôtel est vide. Arrivent maintenant 3 bus avec une infinité de personne. Le responsable des bus vous demande si vous avez assez de place dans votre hôtel pour héberger toutes ces personnes ?

Bravo Dash, le roi de l’infini (dénombrable) x 3

e. - Non résolu - Voir les solutions On repart d’une situation dans laquelle l’hôtel est vide. Arrive maintenant une infinité de bus contenant, chacun, une infinité de personnes.
Le responsable des bus vous demande si vous avez assez de place dans votre hôtel pour héberger toutes ces personnes ?

Dash finalement KO: je tire les oreilles à tous ceux qui retirent 1 à l’infini, non mais !? => Attention, le problème est complexe… mais trouvable (pour en avoir trouvé la solution); je précise que le problème ne nécessite pas un niveau de connaissance supérieur à la 3ème… encore faut-il trouver l’astuce…
L’hôtel infini tiendra-t’il le siège jusqu’à minuit ? Allo Mehdi57, Elodie01, Dash et Gas(téro)pode ?
Les douze coups de minuit résonnent. L’hôtel infini a tenu bon !
KO Wawawoum: à mon tour de vous taquiner et puisque vous me tendez le bâton pour vous faire battre, je vous confirme que vous racontez effectivement n’importe quoi sur les hôtels infinis comme sur Sears, entreprise qu’un jour vous portez aux nues pour le lendemain la décrier… votre versatilité sur la file idoine me divertit au quotidien. Je plaisante, bien sûr !
Aleajactaest y était presque ! Dans votre première formulation, vous multipliez les nombres premiers par les numéros de bus. Dans ce cas, la première personne du troisième bus (2 x 3) occupe la même chambre que la deuxième personne du deuxième bus (3 x 2). Par contre, une variante de votre idée qui me semble fonctionner est la suivante: considérer la suite des nombres premiers comme vous l’avez fait et multiplier par 2 puissance le numéro du bus. Dans ce cas, les personnes de tous les bus vont en effet occuper des chambres distinctes (unicité de la décomposition en produit de facteurs premiers du nombre associé à chaque personne). Je n’ai pas compris votre deuxième formulation (où aucune chambre n’est laissée vide). La solution décrite ci-dessous me semble néanmoins plus simple et montre directement la bijection (l’ensemble des chambres étant occupées).


f. - Non résolu - Voir les solutions On repart d’une situation dans laquelle l’hôtel est vide. Arrive maintenant une infinité d’infinité d’infinité de bus contenant, chacun, une infinité de personnes.
Le responsable des bus vous demande si vous avez assez de place dans votre hôtel pour héberger toutes ces personnes ?

Dash finalement KO (peut être vrai mais… à démontrer !)
KO Wawawoum

g. - Non résolu - Voir les solutions Question théorique: Existe-t-il plusieurs infinis ? Existe-t-il des infinis dans lesquels il y a "plus de nombres" que dans d’autres ?

Dash finalement KO

h. - Non entièrement résolu - Voir les solutions Question annexe: Quel prix faudrait-il logiquement demander pour une chambre ?

Dash, vous y êtes presque

Angles, triangles et duangles - Résolu

La somme des angles d’un triangle est égale à 180°. Existe-t’il des triangles dont la sommes des angles est strictement supérieure à 180° ?

Bravo Mehdi57.

Des lignes parallèles ne se coupent jamais. Est-ce toujours vrai ?

Bravo Dash, qui rivalise de ruse avec Lobachevsky et Riemann !

Nous connaissons tous les triangles. Existe-t’il des duangles ?

Bravo Dash… toujours

Fini ou infini - Résolu

Existe-t’il des figures de surface finie mais de périmètre infini ?

Bravo Dash… encore !

Il existe des objets de dimension 1, des objets de dimension 2, des objets de dimension 3. Existe-t’il des objets de dimension intermédiaire entre 1 et 2 ?

Nor y est presque.
Dash… au tableau pour une démonstration !
Gaspode, une valeur sûre !

Suites logiques - Résolu

Ces suites peuvent être expliquées en une phrase. Y parviendrez-vous ?

1 4 9 61 52 63 94 46 …

Bravo Elodie01, Mehdi57 et Gaspode, qui ont même trouvé l’erreur dans l’énoncé, désormais corrigée…

1 2 2 4 2 4 2 4 6 2 …

Bravo Gaspode, qui fait une entrée fracassante dans le haut du tableau: qui de Elodie01, Dash ou Gaspode trouvera les dernières solutions des hôtels infinis ?

Pour les enfants

J’aime bien soumettre ce type d’énigmes à mes neveux et nièces, ados, qui sont réceptifs à ce type de plaisirs… J’ai également des problèmes plus simples pour les plus petits.

Vous avez devant vous un groupe de moutons et de poulets. Il y a 5 têtes et 12 pattes. Combien y a-t’il de poulets et de moutons ?
Vous avez maintenant un groupe à 3 têtes et 9 pattes. => 2 poulets et 1 mouton à 5 pattes (3 poulets et un mouton estropié est aussi une solution acceptable !).

Vous mettez dans un sac 5 boules noires et 3 boules rouges. Vous tirez 3 boules noires. Combien y a-t’il de boules de chaque couleur dans le sac ? Vous tirez maintenant 4 boules rouges: combien y-a-t’il de boules de chaque couleur dans le sac ? => Les réponses peuvent être assez variées:
a/ 2 boules noirs et -1 boule rouge pour les amateurs d’antimatière
b/ Ce n’est pas possible
c/ 1 boule noire
Etc…

Un problème peut-il avoir 2 solutions ? Un problème peut-il avoir une infinité de solutions ?

La phrase suivante est vraie. La phrase précédente est fausse.

Quand la situation ne peut que s’améliorer, cela signifie symétriquement que nous sommes vraiment au fond du trou !

Tout est relatif… sauf cette phrase, a minima !

Etc…

Solutions

Dirigeable

Nous avons l’habitude travailler en géométrie euclidienne (c’est à dire dans le plan)… et nous en oublions que nous habitons à la surface de la Terre !

Nous suivons d’abord un méridien, vers le Nord, sur une distance de 500 km.
Nous tournons ensuite à l’Est et nous nous retrouvons sur un cercle (un parallèle) dont le périmètre est bien inférieur à celui sur lequel nous nous trouvions lorsque nous étions à Leningrad.
C’est ici la clé du problème: en parcourant 500 km vers l’Est sur ce parallèle, nous avons parcouru un angle bien plus important que celui que nous aurions parcouru en partant de Leningrad, sur le parallèle situé 500 km au Sud, pour la même distance parcourue.
Nous redescendons ensuite de 500 km vers le Sud et nous retrouvons donc sur le parallèle de Leningrad.
Finalement, nous parcourons 500 km vers l’Ouest, en direction de Leningrad, mais sans atteindre la ville (puisque le périmètre de ce parallèle est plus grand). Nous plongeons donc probablement dans le lac Ladoga !

Allumettes et triangles

Il faut penser à passer dans la troisième dimension pour la première énigme dont la solution est un tétraèdre.

Pour la deuxième énigme, il s’agit de l’étoile de David.

Faces et surface

Le ruban de Möbius (voir par exemple: https://lacritiquedudimanche.files.word … of-ifs.jpg) est une surface à un seul côté: en considérant deux points quelconques de la surface, il est possible de les joindre en restant sur la surface et sans la traverser.

Escher a utilisé cette figure dans ses dessins. Petite parenthèse, voici un livre qui vaut le détour pour les personnes qui ne l’auraient pas encore lu et que cette file a intéressées: "Gödel Escher Bach" de Douglas Hofstadter: Gödel Escher Bach : Les Brins d'une Guirlande Eternelle: Amazon.fr: Douglas Hofstadter, Jacqueline Henry, Robert Matthew French: Livres

Egalité déstabilisante

A = 1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 + …
1-A =  1 -(1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 + …)
1-A = A
=> A = 1/2

B = 1 - 2 + 3 - 4 + 5 - 6 + …
B-A= 0 - 1 + 2 - 3 + 4 - 5 + 6 -…
B-A=-(1 - 2 + 3 - 4 + 5 - 6 +…)
B-A=-B
B=A/2
=> B=1/4

C=1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + …
C-B= 0 + 4 + 0 + 8 + 0 + 12 +…
C-B= 4C
C=-B/3
=> C = -1/12

Donc 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + … = -1/12

Hôtel infini

a. Bijection entre N et N:
La nième personne va dans la nième chambre.

b. Bijection entre N et N*
On sort toutes les personnes arrivées en bus de l’hôtel. La personne arrivée isolée va dans la première chambre. La première personne du bus va dans la deuxième chambre, la deuxième dans la troisième, etc…

c. Bijection entre N et 2 N
La première personne du premier bus va dans la première chambre impaire.
La deuxième personne du premier bus va dans la deuxième chambre impaire.
La troisième personne du premier bus va dans la troisième chambre impaire.
Etc…
La première personne du deuxième bus va dans la première chambre paire.
La deuxième personne du deuxième bus va dans la deuxième chambre paire.
La troisième personne du deuxième bus va dans la troisième chambre paire.
Etc…

d. Bijection entre N et 3 N

La première personne du premier bus va dans la chambre 1.
La deuxième personne du premier bus va dans la chambre 4.
La troisième personne du premier bus va dans la chambre 7.
Etc…
La première personne du deuxième bus va dans la chambre 2.
La deuxième personne du deuxième bus va dans la chambre 5.
La troisième personne du deuxième bus va dans la chambre 8.
Etc…
La première personne du troisième bus va dans la chambre 3.
La deuxième personne du troisième bus va dans la chambre 6.
La troisième personne du troisième bus va dans la chambre 9.
Etc…

e. Bijection entre N et N x N

Commençons par représenter toutes les personnes de tous les bus (le premier nombre représente le numéro du bus et le deuxième le numéro de la personne dans le bus):


(1,4) (2,4) (3,4) (4,4)
(1,3) (2,3) (3,3) (4,3)
(1,2) (2,2) (3,2) (4,2)
(1,1) (2,1) (3,1) (4,1)

Il faut maintenant réussir à affecter une chambre à chaque personne. L’idée est de considérer les "diagonales". J’ai représenté la quatrième diagonale en gras.
La première diagonale est (1,1).
La deuxième diagonale est (2,1) (1,2)
La troisième diagonale est (3,1) (2,2) (1,3)
La quatrième diagonale est (4,1) (3,2) (2,3) (1,4)
Etc…
Il suffit maintenant de parcourir les diagonales l’une après l’autre:
La personne (1,1) reçoit la chambre 1
La personne (2,1) reçoit la chambre 2
La personne (1,2) reçoit la chambre 3
La personne (3,1) reçoit la chambre 4
La personne (2,2) reçoit la chambre 5
La personne (1,3) reçoit la chambre 6
La personne (4,1) reçoit la chambre 7
La personne (3,2) reçoit la chambre 8
La personne (2,3) reçoit la chambre 9
La personne (1,4) reçoit la chambre 10

Par cette opération de couplage, nous avons réussi à affecter une chambre à chaque personne ! Je vous laisse calculer la formule qui, sur base d’un couple (p,q) détermine le numéro de la chambre.

f. Bijection entre N et N x N x N xN

Une personne est représentée par un quadruplet (a, b, e, f)

Or nous avons montré en e qu’à chaque couple (a, b) peut être associé un unique entier naturel distinct g. Nous pouvons donc simplifier le problème en considérant les triplets (g, e, f).

Nous pouvons ensuite procéder de la même manière: (g, e) peut être simplifié en h.
Enfin (h, f) peut être simplifié en i.

Nous avons donc in fine réussi à case chaque personne de l’infinité d’infinité d’infinité de bus contenant une infinité de personnes dans une chambre.

g. Nous avons montré qu’il y a "autant" de nombres dans les entiers relatifs que de nombres entiers.
Nous avons montré qu’il y a "autant" de nombres dans les entiers naturels que dans les décimaux (qui peuvent s’écrire comme de fractions de deux entiers naturels). Ce point est assez contre-intuitif.

Mais cela signifie-t-il qu’il pour autant que tous les ensembles contiennent "autant" de nombre, c’est à dire qu’il est possible de faire une bijection entre les deux ensembles ?

Considérons l’ensemble des nombres réels entre 0 et 1.

Supposons par l’absurde qu’il soit possible d’établir une bijection entre l’ensemble des entiers naturels et l’ensemble de ces nombres.

Nous pouvons alors lister ces nombres en écrivant:
a1 = 0, 1 2 0 7 2 6…
a2 = 0, 7 4 3 5 4 0…
a3 = 0, 8 4 0 3 9 2…
a4 = 0, 5 0 3 1 5 4…
a5 = 0, 7 2 0 2 1 2…


Invoquons maintenant l’argument diagonal. Considérons la nième décimale de chaque nombre réel (chiffre en gras). Formons maintenant un nombre réel a commençant pas "0," en suivant ces règles:
1/ La nième décimale de ce nombre est égale à 0 si an est différent de 0.
2/ La nième décimale de ce nombre est égale à 1 si an est égal à 0.

Or, ce nombre ne peut pas avoir été listé dans la liste a1… an car pour chaque an considéré, la nième décimale de a diffère par construction.

CQFD.

En conclusion, il y a "plus de" nombres dans l’ensemble des réels (indénombrable) que dans l’ensemble des entiers naturels (dénombrable). Il y a donc plusieurs infinis.

h. Si nous sommes sûrs qu’une infinité de personnes souhaitent passer la nuit dans l’hôtel, nous pouvons faire un "prix de gros" et demander un cent par chambre. Après la nuit, nous serons infiniment riches (infinité dénombrable) ni plus ni moins que si nous avions pratiqué un prix de 1 000 euros la nuit.

Angles, triangles et duangles

Des lignes parallèles ne se coupent jamais. Est-ce toujours vrai ?

Plaçons nous sur le globe terrestre et considérons 2 méridiens:
1/ Chaque méridien coupe l’équateur à un endroit différent avec un angle de 90 degrés.
2/ Or deux droites perpendiculaires à une même droite sont parallèles.
3/ Donc 2 méridiens sont parallèles… et se coupent aux deux pôles !

La somme des angles d’un triangle est égale à 180°. Existe-t’il des triangles dont la sommes des angles est strictement supérieure à 180° ?

Considérons, toujours sur la sphère, un triangle formé par les trois points suivants le pôle nord et les deux intersections entre l’équateur et les deux méridiens cités précédemment. Chaque méridien forme un angle de 90° à l’équateur, par définition. Comme les deux méridiens sont distincts, ils forment un angle au pôle nord. Si nous choisissons deux méridiens sur un diamètre de l’équateur, l’angle au pôle est même un angle plat, soit un triangle de 90° + 90° + 180° = 360° !

Nous connaissons tous les triangles. Existe-t’il des duangles ?

Oui. Deux méridiens distincts du globe terrestre se coupent aux pôles. C’est un duangle !

Fini ou infini

Existe-t’il des figures de surface finie mais de périmètre infini ?

Il existe des objets de dimension 1, des objets de dimension 2, des objets de dimension 3. Existe-t’il des objets de dimension intermédiaire entre 1 et 2 ?

Oui, les fractales. Voir la courbe de Koch http://www.2aazaide.com/wp-content/uplo … e-Koch.jpg dont la dimension est d’environ log 4/log 3 = environ 1.26 !

Suites logiques

Ces suites peuvent être expliquées en une phrase. Y parviendrez-vous ?

1 4 9 61 52 63 94 46 …

Il s’agit de la suite des carrés dont les chiffres sont inversés.

1 2 2 4 2 4 2 4 6 2 …

Il s’agit de la suite de la différence des nombres premiers successifs.

Conclusion

J’espère vous avoir bien divertis (avec mes excuses pour le mal de crâne).

Si vous avez d’autres énigmes similaires (pour ados ou enfants), n’hésitez pas à les proposer.

Solution de la première énigme de Mehdi57, avant que minuit ne sonne: 6, 9, 3, 5, 2, 1, 7, 8, 4. Pour la résoudre, j’ai considéré en priorité les 2 divisions, qui restreignent le champ des possibles, en particulier la première, où on sent intuitivement qu’il faut se limiter à un résultat de 2, 3 ou peut-être éventuellement 4 (puisqu’il faut ensuite multiplier par 13). Ensuite, le choix pour la deuxième division est assez restreint. Enfin, à chaque étape, nous connaissons la somme des blocs et nous pouvons viser le 66… Ouf, je suis rassuré d’avoir le niveau de CE2 vietnamien. Mais je n’ose imaginer le niveau en "prépa vietnamienne". Si vous avez d’autres énigmes, je suis preneur.

J’avais déjà connaissance de la deuxième énigme proposée par Mehdi57, que je remercie au passage pour les 2 énigmes intéressantes qu’il a proposées. Je m’abstiens donc d’en donner la solution.


Cordialement,

Vauban

Dernière modification par vauban (11/08/2015 21h20)

Mots-clés : logique, mathématiques, énigmes


"Price is what you pay. Value is what you get.", Warren Buffett

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#2 10/08/2015 21h09 → Enigmes mathématiques : trouverez-vous les réponses ? (logique, mathématiques, énigmes)

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Bon, je vais m’en tenir à ce qui est rond :

Dirigeable : je dirais vers Volkhov, soit 100 km plus à l’Est (1° de longitude ne mesurant pas la même distance selon la latitude où l’on se trouve, on fait plus vite le tour de la terre près d’un des 2 pôles, d’où les trajets choisis par les avions transcontinentaux)

Face et surface : la surface d’une boule ?

Dernière modification par Dominique (10/08/2015 21h15)

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#3 10/08/2015 21h27 → Enigmes mathématiques : trouverez-vous les réponses ? (logique, mathématiques, énigmes)

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Dirigeable: je ne vois vraiment pas où est l’astuce…

Face et surface: le disque (en 2d)?

Fini ou infini: est-ce que ça a un rapport avec les fractals ?

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#4 10/08/2015 21h36 → Enigmes mathématiques : trouverez-vous les réponses ? (logique, mathématiques, énigmes)

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Vauban,

Sympathique initiative. Je n’ai pas tout lu car c’est un peu long et comme j’ai essayé de répondre aux questions en même temps, j’ai senti arriver un début de migraine ;-) (Notez que ce jour, j’ai repris le travail après 4 semaines de vacances, ceci explique peut être la migraine naissante!).

Dirigeable:

J’aurais tendance à dire d’un premier jet sans réfléchir, que le parcours mènerait le dirigeable à Leningrad. On fait un carré 500km de chaque (nord/ sud est/ouest) et cela se compenserait.  Mais ce serait trop facile non?!?

Alors je creuse. Prenant ma pèle et ma pioche, je me suis dit que la terre est ronde (oui super révélation). En conséquence, en montant d’abord 500km au nord, on arrive plutôt en haut de la sphère. On fait 500km à l’est (schématiquement à droite), on redescend de 500km au sud.
Par contre, en faisant 500km à l’ouest, il me semble qu’on arrive à l’est de Leningrad et pas pile sur Leningrad. Par contre, je ne saurais pas dire de combien de kilomètres….

Et là, j’ai l’impression de faire compliqué alors qu’on peut faire simple.

Finalement, je me suis dis que Leningrad n’existe plus et que dorénavant c’est St Pétersbourg. Alors le dirigeable, il ne peut pas partir de Leningrad et il arrête de nous enquiquiner la vie ;-) (OK je sors)

Bref, je vais prendre 2 aspirines, et j’essaierais de re-réfléchir à a question.

Pour face et surface: je dirais qu’il existe une surface à un seul coté: une sphère.

Pour les triangles:
6 allumettes, 4 triangles équilatéraux: c’est possible en travaillant en 3D. On pose 3 allumettes en triangle sur la table et on place les 3 autres allumettes pour former une "montagne". On obtiens nos 4 triangles (un sur la table, les 3 autres "en l’air"). 
6 allumettes et 8 triangles équilatéraux: possible aussi en formant une étoile de David.

Bref, je sens que je suis partie pour passer une nuit blanche à ce rythme là.

Dernière modification par Elodie01 (10/08/2015 21h43)


Le matin tu as 2 choix: soit tu retournes te coucher et tu continues de rêver soit tu te lèves et tu vas réaliser tes rêves

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#5 10/08/2015 21h43 → Enigmes mathématiques : trouverez-vous les réponses ? (logique, mathématiques, énigmes)

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Tout d’abord merci Vauban…
je me lance …pour le dirigeable je dirais que l’on ne peut PAS calculer la position de celui ci à l’issue de ce parcours…car l’on ignore le TEMPS qu’il a mis…s’il a mis exactement 24 h pour effectuer le trajet il se trouve donc de nouveau à Leningrad…sauf si ce vol a eu lieu le 11 juin 1991 au moment ou la ville a été rebaptisée St Petersbourg ou le dirigeable atterrira le 12 juin 1991…

Pour la surface a un seul coté je pense à la tranche de la pièce de monnaie…

@mitiés

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#6 10/08/2015 21h46 → Enigmes mathématiques : trouverez-vous les réponses ? (logique, mathématiques, énigmes)

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Pour face et surface, je peux faire mon emmerdeuse:
une pièce de monnaie a 3 cotés, le coté pile, le coté face et… la tranche! Non?!?

Oups Chris76 m’a précédé on dirait! Désolée pour ce doublon ;-)

Dernière modification par Elodie01 (10/08/2015 21h47)


Le matin tu as 2 choix: soit tu retournes te coucher et tu continues de rêver soit tu te lèves et tu vas réaliser tes rêves

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#7 10/08/2015 21h49 → Enigmes mathématiques : trouverez-vous les réponses ? (logique, mathématiques, énigmes)

Membre
Réputation :   43 

Bonsoir,

Jamais entendu parler du du-angle,un triangle sphérique a des angles supérieurs a 180 degrés.

J’aurai dit que toutes les surfaces ont un seul coté.2 cotés sur une pièce=2 surfaces, après j’ai pensé a la surface de l’eau.

Pour les allumettes il faut utiliser la perspective (pyramide) ou faire une étoile de David.

J’aime bien les casses têtes,au mois de mai il était proposé aux élèves de CE2 du Vietnam cette énigme:

http://www.devenir-rentier.fr/uploads/5662_enigme.jpg

L’opération commence en haut a gauche.Vous devez utiliser les chiffres de 1 a 9 sans en utiliser 2 fois.
Je n’ai pas trouvé la façon juste de faire mais a taton on retombe juste (il y a plusieurs possibilités).
Chapeau les CE2!

Bon je me lance pour le dirigeable,1000 km au nord de Leningrad : 500km nord 500km est 500km sud (marche AR) 500km ouest (le nord du debut)

J’en ai aussi en réserve!je planche sur les autres!A bientôt.

Edit : 1 2 4 9 61 52 63 94 46 …IL y a pas une erreur dans cette suite? 1*1=1 2*2=4 3*3=9
4*4=16(inversé) ect (1/4/9…)

-1/12e j’avais lu l’article c’est correct mais m’en souviens plus.

Dernière modification par mehdi57 (10/08/2015 22h07)


La règle n’est pas absolue, mais il semblerait que plus le niveau de scolarité de votre lecteur est élevé, plus ce dernier accorde de l’importance à l’orthographe. Le lecteur aurait tendance à mesurer l’intelligence de son interlocuteur à son mode d’expression. Méconnaître ce réflexe vous exclura.

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#8 10/08/2015 21h56 → Enigmes mathématiques : trouverez-vous les réponses ? (logique, mathématiques, énigmes)

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Allez, je me lance une nouvelle fois.

Cette fois je tente ma chance pour l’égalité déstabilisante:

1+2+3+4+…. jusqu’à l’infini: je considère que ça fait l’infini. Donc on ne peut pas vraiment calculer le nombre que cela va donner=> il est par définition infini

-1/12 donne -0.08333333……. avec une infinité de 3

Donc je me dit que cette égalité peut être valable si on considère le nombre de chiffres nécessaires à la réponse: dans les 2 cas, les nombres sont infinis.

Ca me parait un peu tirer par les cheveux mais bon…..


Le matin tu as 2 choix: soit tu retournes te coucher et tu continues de rêver soit tu te lèves et tu vas réaliser tes rêves

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#9 10/08/2015 22h00 → Enigmes mathématiques : trouverez-vous les réponses ? (logique, mathématiques, énigmes)

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(SPOILER)

Dirigeable (source: Yakov et non Grigori Perelman)
Si l’altitude ne varie pas, il revient au même endroit.

Allumettes et triangles (source: Werber Bernard)

Est-il possible, avec 6 allumettes 4 triangles.
Oui, un x au milieu d’un carré.

8 triangles: ?

Face et surface
Anneau de Mobiüs. (même si la largeur de la bande compte en réalité comme une seconde face.)
Il faudrait un anneau de mobiüs en triangle qui vrille de 1/3 de tour.

Egalité déstabilisante

Vrai: www.youtube.com/watch?v=xqTWRtNDO3U

Hôtel infini

Une personne arrive et vous demande s’il y a encore de la place pour elle dans l’hôtel. Que lui répondez-vous ?

On met toutes les personnes du 1er bus dans les chambres paires et les autre dans les chambres impaires.

c. Idem

d. Les personnes du premier bus vont dans les chambres dont le numéro est un multiple de 3 (3, 6, 9 …
2eme bus, les chambres dont le numéro est un multiple de 3 moins 1 (2, 5, 8….
3eme multiples de 3 moins 2 (1, 4, 7..

e. idem en remplaçant 3 par l’infini (multiple infini-1, multiple infini-2 ….

f. En fait il arrive exactement le même nombre de personne qu’a la question e

g. Non

h. Le prix égal au cout d’entretien de la chambre plus la plus petite unité payable.

Angles, triangles et duangles

La somme des angles d’un triangle est égale à 180°. Existe-t’il des triangles dont la sommes des angles est strictement supérieure à 180° ?
Oui, à la surface d’une sphère (en navigation maritime) les triangles peuvent avoir des angles dont la somme est supérieure à 180°

Des lignes parallèles ne se coupent jamais. Est-ce toujours vrai ?
Idem, sur un plan sphérique elles peuvent se recouper.

Nous connaissons tous les triangles. Existe-t’il des duangles ?
Oui, en voilà un: D

Fini ou infini

Existe-t’il des figures de surface finie mais de périmètre infini ?
Oui les fractales.

Pour le reste je ne sais pas.

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#10 10/08/2015 22h40 → Enigmes mathématiques : trouverez-vous les réponses ? (logique, mathématiques, énigmes)

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Pour face et surface: le ruban de Mobius?
edit => pour cette réponse, je n’ai aucun mérite. Dash a fait tout le travail. j’ai juste appelé mon ami Google à l’aide avec la piste de Mobius fourni par Dash!

Suite logique: 1 2 4 9 61 52 63 94 46….

J’ai une idée mais le "2" me dérange

1X1=1
2X2=4
3X3=9
4X4= 16 on inverse on obtient 61
5X5=25 on inverse on obtient 52
6X6=36 idem 63
7X7=49 idem 94
8X8=64 idem 46….

Dernière modification par Elodie01 (10/08/2015 22h54)


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#11 10/08/2015 22h51 → Enigmes mathématiques : trouverez-vous les réponses ? (logique, mathématiques, énigmes)

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Dirigeable (source: Yakov et non Grigori Perelman)

quelque part à l’est du point de départ.

Allumettes et triangles (source: Werber Bernard)

En 3D oui.

Face et surface

en 2D, ruban de Moebius (ruban avec les extrémités collées après un demi tour)

en 3D, bouteille de klein (même principe mais nécessite un espace hypercube)

Egalité déstabilisante

Cette égalité est-elle vraie: 1+2+3+4+… (jusqu’à l’infini) = -1/12 ?

Cette égalité n’a aucun sens. On ne peut pas utiliser des équations comportant des infinis sans passer à un raisonnement sur les limites.

Hôtel infini

Les hotels de Hilbert ne sont pas vraiment des énigmes, mais une branche des mathématiques à ne consommer qu’avec de l’aspirine à disposition.

Angles, triangles et duangles

dans un espace non-euclidien oui. Eg, la surface d’une sphère.

Fini ou infini

fractales, mais la valeur exacte de la surface est indéterminée, connue seulement par sa limite.

Suites logiques

Ces suites peuvent être expliquées en une phrase. Y parviendrez-vous ?

1 2 4 9 61 52 63 94 46 …

si on enlève le 2 , c’est la suite des carrés entiers écrit de droite à gauche.

1 2 2 4 2 4 2 4 6 2 …

suite des différences de 2 nombres premiers consécutifs ?

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#12 11/08/2015 00h22 → Enigmes mathématiques : trouverez-vous les réponses ? (logique, mathématiques, énigmes)

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Pour l’Hôtel infini, je sèche.
L’infini ne m’a d’ailleurs pas trop réussi.
Je me dis que peut être en utilisant les puissances…. mais je ne suis pas vraiment convaincue.
Mes cours de maths sont loin et il est l’heure de tomber dans les bras de Morphée.

En tout cas, merci Vauban, pour cette soirée distrayante mais ô combien enrichissante!

Néanmoins, je n’ai cessé de me féliciter d’avoir choisi une filière économique plutôt que mathématiques car certains problèmes donnaient vraiment mal à la tête. J’ai abandonné la vidéo sur l’égalité déstabilisante à environ 10 minutes ;-)

Bonne soirée à tous

Dernière modification par Elodie01 (11/08/2015 00h22)


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#13 11/08/2015 05h34 → Enigmes mathématiques : trouverez-vous les réponses ? (logique, mathématiques, énigmes)

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L’hôtel infini est tiré par les cheveux. Ce problème souligne plutôt les limites de notre compréhension, non ? D’un point de vue logistique, il suffit de loger chaque personne qui arrive dans une nouvelle chambre.

e. Et si on faisait çà en créant une dimension, ou disons un étage, à chaque nouveau bus qui arrive, et ce jusqu’à l’infini.

Bus 1: chambre 1-1 jusqu’à chambre 1-inf
Bus inf. : chambre inf-1 jusqu’à chambre inf-inf

Au pire, si cela n’est pas possible, on peut prétendre faire plusieurs étages et juste numéroter les chambres de 1-1 à inf-inf en réduisant les dimensions ou étages à la dimension initiale. Et notre hôtel dénombrable infini devient-il le carré de l’infini ou un indénombrable infini ? Peut-être qu’il gagne juste une dimension d’infinité si une telle chose existe. Mmmm… Ou peut-être que je raconte n’importe quoi…

f. On fait pareil, mais avec une infinité de dimensions !!! Et là, c’est le délire total, on numérote les chambres comme ci-dessus qui ont un numéro d’une longueur infinie. Question ? Comment donne-t-on un numéro de chambre d’une longueur infinie aux clients ?

À propos d’hôtel, maintenant on va jouer à notre jeu préféré, combien y-a-t’il d’immobilier dans Sears ? Je rigole bien sûr.

Dernière modification par Wawawoum (11/08/2015 05h48)

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#14 11/08/2015 10h39 → Enigmes mathématiques : trouverez-vous les réponses ? (logique, mathématiques, énigmes)

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Bonjour,

Beaucoup discutée sur les réseaux sociaux en même temps que l’énigme des CE2 voici celle des élèves de Singapour qui ont entre 13 et 15 ans:

Albert et Bernard sont devenus amis avec Cheryl et ils veulent connaître le jour de son anniversaire. Cheryl leur a donné une liste de dix dates possibles : 15 mai, 16 mai, 19 mai, 17 juin, 18 juin, 14 juillet, 16 juillet, 14 août, 15 août, 17 août

Cheryl dit séparément et respectivement à Albert et Bernard le mois et le jour de son anniversaire.

Albert : Je ne sais pas quand est l’anniversaire de Cheryl, mais je sais que Bernard ne sait pas non plus.

Bernard : Au début je ne savais pas quand est l’anniversaire de Cheryl, mais maintenant je sais.

Albert : Dans ce cas, je sais aussi quand est son anniversaire.

Quelle est la date de l’anniversaire de Cheryl ?


Pour le calcul des -1/12 : 1+2+3+4+5+6+7+… = -1/12 ! | Science étonnante

A bientôt.


La règle n’est pas absolue, mais il semblerait que plus le niveau de scolarité de votre lecteur est élevé, plus ce dernier accorde de l’importance à l’orthographe. Le lecteur aurait tendance à mesurer l’intelligence de son interlocuteur à son mode d’expression. Méconnaître ce réflexe vous exclura.

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#15 11/08/2015 20h47 → Enigmes mathématiques : trouverez-vous les réponses ? (logique, mathématiques, énigmes)

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Hotel :

e. -  On repart d’une situation dans laquelle l’hôtel est vide. Arrive maintenant une infinité de bus contenant, chacun, une infinité de personnes.

On garde la chambre 1 pour soi et on attend les bus :

Pour le premier bus : On loge les gens selon une suite de nombre premier commençant par 2
(ex :  2 3 5 7 11 13 17 19 23 etc)

Le deuxieme bus arrive. On les loge avec la même suite mais multiplié par le numéro du bus et ainsi de suite

Pour ne pas laisser de chambre vacantes, on peut aussi :

Bus 1 : Suite de nombre premier commençant a 1.
Bus 2 : Numéros de chambres données au  bus  précédent x 2 en commençant à la chambre 2
Bus 3 : Numéros de chambres données au  bus  précédent x 2 en commençant au numéro de la première chambre distribué au bus précédent.

f. Même principe mais va donner qu’une chambre sur trois au gens du premier bus pour la première infini.
Par exemple : 2 7 17 …
puis  3 11 19 …
et  5 13 23 …

Dernière modification par AleaJactaEst (11/08/2015 21h15)

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#16 09/01/2016 00h37 → Enigmes mathématiques : trouverez-vous les réponses ? (logique, mathématiques, énigmes)

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Bonjour,

Une énigme facile et résolue par Crown en un temps record: qu’est-ce qu’une montre qui donne l’heure juste 2 fois par jour ?

Cordialement,

Vauban

Dernière modification par vauban (09/01/2016 01h07)


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#17 09/01/2016 00h56 → Enigmes mathématiques : trouverez-vous les réponses ? (logique, mathématiques, énigmes)

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Un peu aisé effectivement… Une montre en panne.

Crown

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#18 09/01/2016 11h07 → Enigmes mathématiques : trouverez-vous les réponses ? (logique, mathématiques, énigmes)

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vauban a écrit :

Une énigme facile et résolue par Crown en un temps record: qu’est-ce qu’une montre qui donne l’heure juste 2 fois par jour ?

Une montre avançant deux fois trop vite convient également.

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#19 09/01/2016 11h38 → Enigmes mathématiques : trouverez-vous les réponses ? (logique, mathématiques, énigmes)

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Une montre qui avance 2 fois trop vite fait 4 tours de cadran par jour donc peut donner la bonne heure 3 fois par jour dans la meilleure configuration possible (si a minuit l’heure est bonne).

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#20 11/01/2016 09h51 → Enigmes mathématiques : trouverez-vous les réponses ? (logique, mathématiques, énigmes)

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Bonjour,

Avec le pseudo dont je me suis affublé, je peux difficilement ignorer ce fil de discussion et vais donc vous proposer une petite devinette après avoir rappelé quelques éléments de contexte.

Il n’aura pas échappé aux malheureux exerçant encore une activité salariée que l’année 2016 sera particulièrement ingrate pour eux : le 29 février tombe un lundi, les 1er mai, 8 mai et 25 décembre tombent un dimanche. 2016 sera bien l’année du "travailler plus pour gagner pareil" ! Encore mieux que les corvées seigneuriales sous l’ancien régime…

Le bossu qui préside aux destinées du MEDEF se redresse vivement et nous promet une année faste : ces 4 jours travaillés supplémentaires vont doper les créations d’emplois par dizaines de milliers ; pour peu que l’on y ajoute une pincée de suppression de charges sociales et une grosse rasade de dérèglementation du droit du travail, alors oui, promis juré, le chômage disparaîtra dès cette année. Comment ne pas le croire ? Son papa disait déjà la même chose il y a 30 ans.

Les plumitifs et autres  logorrhéiques oeuvrant respectivement au Figaro et chez BFM ont les yeux qui brillent en évoquant le surcroît de croissance qui va en résulter ; ces 4 jours là compenseront à eux seuls la baisse d’activité en Chine et la hausse des taux aux Etats-Unis. Oui, il y a décidément trop de jours fériés dans notre pays de paresseux et il est urgent de légiférer pour que le miracle patronal de 2016 se reproduise chaque année

Les ténors de la droite "républicaine" ont des trémolos dans la voix en invoquant la majorité silencieuse qui ne fait jamais grève, la France qui se lève tôt et va donc se réjouir de devoir travailler 4 jours de plus. Voila qui va réhabiliter au plus haut point la "valeur travail", à condition quand même de ne pas s’en prendre aux fêtes catholiques, auxquelles une partie de l’électorat "républicain" est très attaché.

Les ministres modernes, ceux qui incarnent la "gauche du réel", sont plus discrets mais n’en pensent pas moins : pourquoi donc ne pas supprimer 3 ou 4 jours fériés dans une loi Macron3 à venir dès après 2017 ? La gauche moderne revendiquant une laïcité de combat elle supprimera autant de fêtes civiles que religieuses.

Les retraités et rentiers, pour qui chaque jour est férié, applaudissent à tout rompre.

Les artisans, commerçants et professions libérales, épargnés par la journée de corvée que Chirac et Raffarin avaient imposée aux seuls salariés à partir de 2005, ricanent.

Les salariés rient jaune….

J’en viens enfin à la question pour ceux qui ont eu le courage de me lire jusqu’au bout : en quelle année le miracle de 2016 (lundi 29 février, dimanche 1er mai, 8 mai et 25 décembre) se reproduira-t-il ?

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#21 11/01/2016 10h05 → Enigmes mathématiques : trouverez-vous les réponses ? (logique, mathématiques, énigmes)

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Bonjour,
On pourrait "imaginer", dans 28 ans en 2044.

Crown

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#22 11/01/2016 10h51 → Enigmes mathématiques : trouverez-vous les réponses ? (logique, mathématiques, énigmes)

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Bonjour,

Personnellement ces jours ne changent rien pour moi car ma convention collective fait que je récupère chaque jour férié qui tombe pendant un WE et il peut y avoir des jours "ponts" rajoutés si le total des jours travaillés dépasse le seuil fixé par cette même convention.

Et quoi qu’il en soit cela ne change rien non plus sur mes objectifs qu’il y ait plus ou moins de jours et le même travail devra être réalisé…

Cet impact de +0.11% de PIB est de la poudre au yeux pour moi… franchement la croissance tient à cela !!? Dans ce cas passons à des années de 400 jours ça fera un jolie gap entre les 2 années concernées ! smile


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#23 11/01/2016 11h10 → Enigmes mathématiques : trouverez-vous les réponses ? (logique, mathématiques, énigmes)

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Ledep a écrit :

Bonjour,

Personnellement ces jours ne changent rien pour moi car ma convention collective fait que je récupère chaque jour férié qui tombe pendant un WE et il peut y avoir des jours "ponts" rajoutés si le total des jours travaillés dépasse le seuil fixé par cette même convention.

Ca au moins c’est de la convention ; je ne sais pas de quel secteur il s’agit, mais je me doute bien que ce n’est pas celle du Syntec et que ce n’est pas la CFDT qui l’a négociée !

Crown nous a donné la bonne réponse : le miracle patronal de 2016 se reproduira en 2044…et s’est déjà produit en 1988. Merci pour sa célérité et sa vivacité d’esprit.

Venons-en à la démonstration :

Pour que les 4 conditions soit satisfaites, il suffit que la première d’entre elles le soit : si le 29 février tombe un lundi, le 1er mai, le 8 mai et le 25 décembre tomberont un dimanche.

Appelons ensuite MEDEF le nombre de jours qui vont s’écouler entre deux lundis 29 février :

- MEDEF est divisible par 7 car il y a 7 jours de lundi à lundi :
- MEDEF est divisible par 1826, qui est le nombre de jours s’écoulant entre deux années bissextiles (4x365+366).
- 7 est un nombre premier et 1826 n’est pas divisible par 7.

Conclusion : avant que l’on ne retrouve un lundi 29 février, il va devoir s’écouler 7 périodes de 1826 jours. MEDEF = 7 x 1826 = 12782 jours, ce qui nous amènera pile poil au 29 février 2044.

Autres questions, relevant cette fois davantage de la boule de cristal que de l’arithmétique :

Combien de jours fériés légaux seront encore en vigueur en 2044 ?

Aurons-nous à cet horizon lointain une 3ème génération de Gattaz aux commandes du MEDEF ?

Dernière modification par stokes (11/01/2016 11h12)

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#24 11/01/2016 13h34 → Enigmes mathématiques : trouverez-vous les réponses ? (logique, mathématiques, énigmes)

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Ca me rappelle des souvenirs : de mon temps, en classe de 6e ou 5e, on appelait PPCM* ce que vous appellez MEDEF !

* Plus petit commun multiple.


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#25 11/01/2016 13h44 → Enigmes mathématiques : trouverez-vous les réponses ? (logique, mathématiques, énigmes)

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stokes a écrit :

Ca au moins c’est de la convention ; je ne sais pas de quel secteur il s’agit, mais je me doute bien que ce n’est pas celle du Syntec et que ce n’est pas la CFDT qui l’a négociée !

Ben justement si, c’est la convention Syntec.
En tout cas celle là pose un nb limite de jours travaillés, et si vous y êtes déjà, mécaniquement tout jour ouvré en plus (=jour férié en moins), se répercutera sur les RTT

Tout ça pour cracher votre venin idéologique, était-ce bien utile de détourner ce fil de discussion…

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